■DE群多面体の面数公式(その243)

 Dnの基本単体は,αn-1の基本単体に

  {n(1−2/n)^2}^1/2/√2=(n−2)/√(2n)

をつけたものとして一般化することができるだろうか?

 δn:aj=(2/j(j+1))^1/2,an=(n−2)/√(2n)

[1]n=3:an=1/√6→α3と一致

[2]n=4:an=2/√8=1/√2→β4と一致

[3]n=5:an=3/√10

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 D5[−1,1]^nの頂点は「1」の数が奇数の頂点を選ぶと

  (1,1,1,1,1)

  (1,1,1,−1,−1)

  (1,−1,−1,−1,−1)

 したがって,半径^2は5→√5

 頂点間距離^2=2^2+2^2=8→2√2

 頂点間距離が2のとき,半径は√(5/2)

 ファセットは1辺の長さ2のα4とhγ4=β4.a5,b5はhγ5とファセットの中心との距離とすると,

[1]αn:aj=(2/j(j+1))^1/2

[2]βn:aj=(2/j(j+1))^1/2,an=(2/n)^1/2

 R^2=1+1/3+1/6+1/10+a5^2=5/2

=1+1/3+1/6+2/4+b5^2

 R^2=9/6+2/4+b5^2=9/6+1/10+a5^2=5/2

 a5^2=(150−90−6)/60=54/60

 b5^2=(150−90−30)/60=30/60

  {n(1−2/n)^2}^1/2/√2=(n−2)/√(2n)

は半立方体から単体面までの距離を表すが,n=5を代入すると

  3/√10=√(54/60)=a5

となって一致.

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