格子の場合，頂点図形の双対をとると，空間充填図形が描ける．ＤＥ群多面体４21，３21，２21は格子の５21，３22，２22の頂点図形である．４21，３21，２21の大域・局所幾何はその三対を含めて計算済みである．

　次には，４21，３21，２21の切頂・切稜について考えてみたい．（その１１）より，・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　２21の頂点は（０，０，０，０，０，０；４／√３）から等距離にある

　　（０，０，０，０，０，０）

　　（±２，０，０，０，０，０；６／√３）とその置換

　　（±１，±１，±１，±１，±１；３／√３）とその置換（−は奇数個）

　したがって，半径^2は２^2＋４／３＝５＋１／３＝１６／３→４／√３

　頂点間距離^2＝２^2＋２^2＝８→２√２

　頂点間距離が２のとき，半径は√（８／３）

　ファセットは１辺の長さ２のα5とβ5．ａ6，ｂ6は２21とファセットの中心との距離とすると，

［１］αn：ａj＝（２／ｊ（ｊ＋１））^1/2

［２］βn：ａj＝（２／ｊ（ｊ＋１））^1/2，ａn＝（２／ｎ）^1/2

　Ｒ^2＝１＋１／３＋１／６＋１／１０＋１／１５＋ａ6^2＝８／３

＝１＋１／３＋１／６＋１／１０＋２／５＋ｂ6^2

　１＋１／３＋１／６＋１／１０＝（３０＋１０＋５＋３）／３０＝８／５

　Ｒ^2＝８／５＋２／５＋ｂ6^2＝８／５＋１／１５＋ａ6^2＝８／３

　ａ6^2＝（４０−２４−１）／１５＝５／３

　ｂ6^2＝（４０−２４−６）／１５＝２／３

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　３21の頂点は（−３，１，１，１，１，１，１，−３）

　　（−３，−３，１，１，１，１，１，１）

　　（３，３，−１，−１，−１，−１，−１，−１）とその置換

　したがって，半径^2は２・３^2＋６＝２４→２√６

　頂点間距離^2＝４^2＋４^2＝３２→４√２

　頂点間距離が２のとき，半径は√３

　Ｒ^2＝１＋１／３＋１／６＋１／１０＋１／１５＋１／２１＋ａ7^2＝３

＝１＋１／３＋１／６＋１／１０＋１／１５＋２／６＋ｂ7^2

　１＋１／３＋１／６＋１／１０＋１／１５＝（３０＋１０＋５＋３＋２）／＝５／３

　Ｒ^2＝５／３＋１／３＋ｂ7^2＝５／３＋１／２１＋ａ7^2＝３

　ａ7^2＝（６３−３５−１）／２１＝９／７

　ｂ7^2＝（９−５−１）／３＝１

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　４21の頂点は

　　（±２，０，０，０，０，０，０，）とその置換

　　（±１；０，０，０，±１，±１，０，±１）の巡回置換

　　（０；±１，±１，±１，０，０，±１，０）と巡回置換

たとえば

　　（０；±１，±１，０，０，±１，０，±１）

　　（０；±１，０，０，±１，０，±１，±１）

　　（０；０，０，±１，０，±１，±１，±１）

　　（０；０，±１，０，±１，±１，±１，０）

　　（０；±１，０，±１，±１，±１，０，０）

　　（０；０，±１，±１，±１，０，０，±１）

　したがって，半径^2は２^2＝４→２

　頂点間距離^2＝４→２（Ｒと等しい）

　頂点間距離が２のとき，半径は２

　Ｒ^2＝１＋１／３＋１／６＋１／１０＋１／１５＋１／２１＋１／２８＋ａ8^2＝４

＝１＋１／３＋１／６＋１／１０＋１／１５＋１／２１＋２／７＋ｂ8^2

　Ｒ^2＝１２／７＋２／７＋ｂ8^2＝１２／７＋１／２８＋ａ8^2＝４

　ａ8^2＝（１１２−４８−１）／２８＝９／４

　ｂ8^2＝（２８−１２−２）／７＝２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝