＜L(1)ｎ分割の分身たちを掛け算すると・・＞

　L(1)の分割級数（ゼータの分身たち）を掛け算すると、世にも美しい式が出たのでお知らせします。

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　「ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その４９）」のL(1)２分割、４分割、８分割を例に説明します。（その４９）は（その１１）の形を一部整えたものです。

　その分身たちの”掛け算”をしたら、次のようになりました。

L(1)２分割⇒　A1×A2＝（L(1)/2)^2　　----�@

L(1)４分割⇒　A1×A2×A3×A4＝（L(1)/4)^4 -----�A

L(1)８分割⇒　A1×A2×A3×A4×A5×A6×A7×A8＝（L(1)/8)^8 -----�B

　ここでL(1)＝π/4です。

　これを見たときは唖然としました。あまりにシンプルです！

　tan()の掛け算が１になることからこれらが出るのですが、その理由はすぐにわかりました。次の通りです。４分割を例に説明します。

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■４分割

　A1＝1 -1/15 +1/17 -1/31 +1/33 -1/47 +1/49 -1/63 +・・ ＝(π/16)tan(7π/16)

　A2＝1/3 -1/13 +1/19 -1/29 +1/35 -1/45 +1/51 -1/61 +・・ ＝(π/16)tan(5π/16)

　A3＝1/5 -1/11 +1/21 -1/27 +1/37 -1/43 +1/53 -1/59 +・・ ＝(π/16)tan(3π/16)

　A4＝1/7 -1/9 +1/23 -1/25 +1/39 -1/41 +1/55 -1/57 +・・ ＝(π/16)tan(π/16)

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　A1×A2×A3×A4＝(π/16)^4 tan(7π/16)tan(5π/16)tan(3π/16)tan(π/16)　----�C

となりますが、４つのtan()の掛け算結果は1になります。最初Excelで計算して１になったときはびっくりしましたが、じつは不思議でもなんでもない。

　まずtanをすべてsin、cosに直すと、次のようになります。

　tan(7π/16)tan(5π/16)tan(3π/16)tan(π/16)

　　　＝sin(7π/16)/cos(7π/16)・sin(5π/16)/cos(5π/16)・sin(3π/16)/cos(3π/16)・sin(π/16)/cos(π/16) ----�D

　ここで、cos(π/2−α)＝sinα、sin(π/2−α)＝cosαを使って、�Dの真ん中より左半分のsin, cosを変形をすると（真ん中より右はそのまま）、

　�D＝cos(π/16)/sin(π/16)・cos(3π/16)/sin(3π/16)・sin(3π/16)/cos(3π/16)・sin(π/16)/cos(π/16) ＝1 -----�E

と、すべてが約分されて１になる。

　よって�C、�D、�Eより、�Aの　A1×A2×A3×A4＝（L(1)/4)^4 が出ます。　�@と�Bも、同様の計算で出ます。

　キーポイントは、tan()の（）の中の分子が分母の16の半分（つまり8）より小さい奇数1,3,5,7から構成されていることです。

このような形のtan（pπ/n）の掛け算は、�Eのようになって１になります。

以上。

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　理由はわかりましたが、ふしぎさは消えません。

　驚くべきは、ゼータ関数がこのような構造を備えていることです。ゼータは究極の美から構成されているように見えます。

　そして（その４９）と上記�@、�A、�Bの結果は「足してもL(1)になり、掛けてもL(1)になる」ということを示しているようにも感じます。

注記：「足しても」は、ディリクレ指標χ(n)に従った足し算(引き算)を指す。

　今回の結果に関し、Sugimoto氏、KONO氏、佐藤郁郎氏には有用なコメントや資料をいただきました。感謝いたします。

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［追記］

　奇数分割の３分割、５分割も見ましたが、今回の件は成り立っていました。すなわち、任意の1以上の整数nで、次が成り立ちます。

　L(1)のn分割の分身たちA1,A2,・・・Anによって、

　　A1×A2×・・・An＝（L(1)/n)^n

　が成り立つ。

　　奇数分割では、tan()の掛け算は、偶数分割の場合とはまたちょっと違った形で（対称性の効果で）１になります。　　　（杉岡幹生）

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