［Ｑ］（ｐ−１０，ｐ−６，ｐ−４，ｐ，ｐ＋２，ｐ＋６）がともに素数となるｐ（１９４００≦ｐ≦１９５９９）を求めよ．

　ｐを７で割った余りをｍ（１≦ｍ≦６）とする．ｐ＝７ｋ＋ｍ

ｐ−１０＝７（ｋ−１）＋（ｍ−３）

ｐ−６＝７ｋ＋（ｍ−６）

ｐ−４＝７ｋ＋（ｍ−４）

ｐ＋２＝７（ｋ＋１）＋（ｍ−５）

ｐ＋６＝７（ｋ＋１）＋（ｍ−１）

したがって，ｍ≠３，６，４，５，１→ｍ＝２

　ここで，ｐを７で割った余りを考えたが，同様に

　　ｐを５で割った余りを考えると→ｍ＝２

　　ｐを３で割った余りを考えると→ｍ＝２

→ｐ−２は３，５，７の公倍数→１０５の公倍数となる．

→ｐは奇数なので，ｐ−２＝１０５（２ｍ＋１）→ｐ＝２１０ｍ＋１０７

→１９４００≦ｐ≦１９５９９より，ｍ＝９２，ｐ＝１９４２７

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　最後の部分は中国剰余定理を用いてもよい．

　連立合同式

　　ｘ＝１　　（ｍｏｄ２）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ５）

　　ｘ＝２　　（ｍｏｄ７）

を計算しよう．

ｘ＝ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3＋３０ｘ4とおいて，最初の式に代入する．→ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3＋３０ｘ4＝ｘ1＝１　　（ｍｏｄ２）→ｘ1＝１がこの合同式の解である．

→ｘ＝１＋２ｘ2＋６ｘ3＋３０ｘ4を２番目の式に代入する．→１＋２ｘ2＋６ｘ3＋３０ｘ4＝１＋２ｘ2＝２　　（ｍｏｄ３）→２ｘ2＝１　　（ｍｏｄ３）→ｘ2＝２がこの合同式の解である．

→ｘ＝５＋６ｘ3＋３０ｘ4を３番目の式に代入する．→５＋６ｘ3＝２　　（ｍｏｄ５）→６ｘ3＝−３　　（ｍｏｄ５）→ｘ3＝２がこの合同式の解である．

→ｘ＝１７＋３０ｘ4を４番目の式に代入する．→１７＋３０ｘ3＝２　　（ｍｏｄ５）→３０ｘ4＝−１５　　（ｍｏｄ７）→ｘ4＝３がこの合同式の解である．

　ｘ＝１０７となるので，中国剰余定理より連立合同式の解は

　　ｘ＝１０７　　（ｍｏｄ２１０）

である．

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