［１］ｐが４の倍数＋１のとき，そのときに限り，奇素数ｐは２つの平方数の和として表せる（フェルマー）　

［２］整数ｎの素因数分解において，４ｍ＋３型素数がすべて偶数乗のとき，そのときに限り，整数ｎは２つの平方数の和として表せる．

［３］整数ｎがｎ＝４^k（８ｍ＋７）という形で表せないとき，そのときに限り，整数ｎは３つの平方数の和として表せる．

（証）ｘ＝０，１，２，３，４，５，６，７

を考えると

　　ｘ^2＝０，１，４，９，１６，２５，３６，４９

　　ｘ^2＝０，１，４　　（ｍｏｄ８）

となる．これより，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠７　　（ｍｏｄ８）

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠８ｍ＋７

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝ｎ

は

　　ｎ≠４^k（８ｍ＋７）

のときに限って整数解をもつ．

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［４］すべての整数ｎは４つの平方数の和として表せる（ラグランジュ）．

［５］すべての整数ｎは９つの立方数の和として表せる．

　　　すべて十分に大きな整数ｎは７つの立方数の和として表せる．

［６］すべての整数ｎは１９個の４乗数の和として表せる．

　　　すべての十分に大きな整数ｎは１６個の４乗数の和として表せる．

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