素数は無数に存在する．ユークリッドはその証明に背理法を用いた．

　すなわち，素数は有限個しか存在しないと仮定し，矛盾を導き出すのである．

［１］最大の素数をｐとする．

［２］Ｎ＝２・３・５・・・ｐ＋１を考える．

［３］その素因数は２，３，５，，・・・ｐではあり得ない．

［４］ｐは最大の素数ではない（矛盾）．

　Ｎ＝２・３・５・・・ｐ＋１の代わりに，Ｎ＝２・３・５・・・ｐ−１を用いても，素数は無数に存在することを証明することができる．したがって，

［１］Ｎ＝２・３・５・・・ｐ＋１型素数は無数にある．

［２］Ｎ＝２・３・５・・・ｐ−１型素数は無数にある．

　しかし，これらが同時に素数になること，すなわち，双子素数が無数にあるかどうかはわからないのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝