＜L(2)の２分割、速報＞

　特殊値が非明示となるゼータの分割の結果がはじめて出たので結果だけ、先にお伝えします。

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　L(s)=1 -1/3^s +1/5^s -1/7^s +1/9^s -1/11^s +1/13^s -1/15^s + 1/17^s -1/19^s +・・

のs＝2のL(2)は現代数学でよくわからないとか言われているものです（積分表示や級数表示は知られています）。

　L(2)=1 -1/3^2 +1/5^2 -1/7^2 +1/9^2 -1/11^2 +1/13^2 -1/15^2 + 1/17^2 -1/19^2 +・・

　これを２分割した分身たちは、次のA1、A2になります（L(1)２分割の類似）。

　A1＝1 -1/7^2 +1/9^2 -1/15^2 +1/17^2 -1/23^2 +1/25^2 -1/31^2 +・・

　A2＝1/3^2 -1/5^2 +1/11^2 -1/13^2 +1/19^2 -1/21^2 +1/27^2 -1/29^2 +・・

　ある生成核（部分分数展開式）を使ってA1,A2の値を計算すると、次のようになりました。数値検証でも正しい。

　A1＝1 - (1/8)^2(tβＣa +Ｓa) + (1/8)^3｛πＣa/(cβ)^2 -Ｃ2a +tβＳ2a｝

　A2＝1/9[1 - (3/8)^2(tαＣb +Ｓb) + (3/8)^3｛πＣb/(cα)^2 -Ｃ2b +tαＳ2b｝]

ここで、tはtan()、cはcos()、α＝π/8、β＝3π/8です。よってtα＝tan(π/8)、tβ＝tan(3π/8)、cα＝cos(π/8)、cβ＝cos(3π/8)です。

　またＣa、Ｓa、Ｃ2a、Ｓ2a、Ｃb、Ｓb、Ｃ2b、Ｓ2bは次の通り。

Ｃa＝∫(0〜2π)cos(x/8)log(sin(x/2))dx

Ｓa＝∫(0〜2π)sin(x/8)log(sin(x/2))dx　

Ｃ2a＝∫(0〜2π)x・cos(x/8)log(sin(x/2))dx

Ｓ2a＝∫(0〜2π)x・sin(x/8)log(sin(x/2))dx

Ｃb＝∫(0〜2π)cos(3x/8)log(sin(x/2))dx

Ｓb＝∫(0〜2π)sin(3x/8)log(sin(x/2))dx　

Ｃ2b＝∫(0〜2π)x・cos(3x/8)log(sin(x/2))dx

Ｓ2b＝∫(0〜2π)x・sin(3x/8)log(sin(x/2))dx

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＜感想＞　

　A1とA2は、対称的な形をしています。

　ちなみに明示的な特殊値をもつL(1)の２分割は、シンプルに次となります。

■L(1)２分割

　1 -1/7 +1/9 -1/15 +1/17 -1/23 +1/25 -1/31 +・・ ＝(π/8)tan(3π/8)

　1/3 -1/5 +1/11 -1/13 +1/19 -1/21 +1/27 -1/29 +・・ ＝(π/8)tan(π/8)

　上式−下式＝L(1)＝π/4です。　　以上。（杉岡幹生）

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