大きなメルセンヌ素数を発見することによって，その分布についての新しい予想が打ち立てられる・・・メルセンヌ素数予想とは，

　　πM（ｘ）＝［ｘ以下のメルセンヌ素数の個数］として，

　　πM（ｘ）〜Ｃ・ｌｏｇｌｏｇｘ

　　Ｃ＝ｅｘｐγ／ｌｏｇ２

と予想されています．γ＝０．５７７・・・（オイラー定数），ｅｘｐγ＝１．７８・・・

　Ｍp＝２^p−１を生じるｐに近い素数密度は

　　ｅｘｐγ／ｐｌｏｇ２

これとｐに近い一般的な素数密度１／ｌｏｇｐを比較してみると

　　ｐ／ｅｘｐγｌｏｇ2ｐ

の素数密度となり，平均してそのひとつの素数がメルセンヌ素数となる．

　メルセンヌ素数を生成する素数ｐの確率密度は

　　ｌｏｇ2ｐ〜ｌｏｇ2（ｌｏｇ2Ｍp）より

横軸ｎ

縦軸ｌｏｇ2（ｌｏｇ2Ｍ（ｎ））

とすると傾き１／ｅｘｐγ＝０．５６の直線となる．

　なお，８番目のメルセンヌ素数

　　２^31−１＝２１４７４８３６４７

に対して，

　　πM（２^31）＝８

４９番目のメルセンヌ素数

　　２^57885161−１

に対して，

　　πM（２^57885161）＝４９

は予想された分布線上に載っていることが確認されています．

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　実はメルセンヌ素数に関する予想は，メルセンヌ素数以上にある．たとえば，メルセンヌ素数を指数にもつメルセンヌ数は素数かという古くからの予想がある．

　　２^13−１＝８１９１はメルメンヌ素数．

　　２^8191−１は素数ではない（この予想に対する反例）

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