どんな底に対しても

　　ａ^p−ａ

がｐで割り切れるとき，ｐを完全擬素数（カーマイケル数）という．

　５６１は最小の完全擬素数であて，以下，

　　１１０５，１７２９，２４６５，２８２１，６６０１，８９１１，１０５８５，・・・

と続く．無限に存在することが証明されている．

　どのカーマイケル数も少なくとも３つの素因数を含む．

　８９１１＝７・１９・６７はカーマイケル数で，底を２〜ａに取り替えても一切反応しないのである．

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　ａ^6＝１　（ｍｏｄ７）

　ａ^18＝１　（ｍｏｄ１９）

　ａ^66＝１　（ｍｏｄ６７）

より，

　ａ^8910＝（ａ^6）^1485＝１　（ｍｏｄ７）

　ａ^8910＝（ａ^18）^495＝１　（ｍｏｄ１９）

　ａ^8910＝（ａ^66）^135＝１　（ｍｏｄ６７）

　つまり

　　ａ^8910＝１　（ｍｏｄ８９１１）

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