■オイラーのエラスチカからミウラ折りへ（その１６）
ｌｏｇｘ＝∫(1,x)ｄｔ／ｔ
ａｒｃｔａｎｘ＝∫(0,x)ｄｔ／（１＋ｔ^2）
より，有理関数
ｔ／（ａｔ＋ｂ），（ｄｔ＋ｅ）／（ａｔ^2＋ｂｔ＋ｃ）
の積分は，ｌｏｇｘないしａｒｃｔａｎｘに帰着される．
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［１］∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）＝ａｒｃｔａｎｘ
［２］∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）^1/2＝ｌｏｇ（ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2）
［３］∫（１＋ｘ^2）^1/2ｄｘ＝１／２・ｘ（１＋ｘ^2）^1/2＋１／２・ｌｏｇ（ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2）
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［２］∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）^1/2＝ｌｏｇ（ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2）
ｔ＝ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2とおく．
ｘ＝（ｔ^2−１）／２ｔ，ｄｘ＝（１＋ｔ^2）／２ｔ^2ｄｔ
（１＋ｘ^2）^1/2＝ｔ−ｘ＝（１＋ｔ^2）／２ｔ
したがって，
∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）^1/2＝∫２ｔ／（１＋ｔ^2）・（１＋ｔ^2）／２ｔ^2ｄｔ
＝∫ｄｔ／ｔ＝ｌｏｇｔ＝ｌｏｇ（ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2）
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［３］∫（１＋ｘ^2）^1/2ｄｘ＝１／２・ｘ（１＋ｘ^2）^1/2＋１／２・ｌｏｇ（ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2）
∫（１＋ｘ^2）^1/2ｄｘ＝∫（１＋ｔ^2）／２ｔ・（１＋ｔ^2）／２ｔ^2ｄｔ
＝１／４・∫（ｔ^4＋２ｔ^2＋１）／ｔ^3ｄｔ
＝１／４・∫（ｔ＋２／ｔ＋１／ｔ^3）ｄｔ
＝１／４｛１／２・ｔ^2＋２ｌｏｇｔ−１／２ｔ^2｝
＝１／８｛ｔ^2−１／ｔ^2｝＋１／２・ｌｏｇｔ
ｔ＝ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2
１／ｔ＝（１＋ｘ^2）^1/2−ｘ
ｔ^2−１／ｔ^2＝４ｘ（１＋ｘ^2）^1/2
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