＜ゼータ分割に関する種々の予想　ver 2.0＞

　（その２３）でゼータ分割での種々の予想や問題を提示しました。しかしその後、新たに思いついたり、修正したものなどあるので、ver 2.0として改訂しておきます。

　予想群を提示しておくことは、研究のよい指針となるため有用です。新たに加えたものは※マークをつけました。消したものもあります。部分的に解けたものもあり、それらは最後の＜感想、つぶやき＞に書きました。

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［１］このゼータの分割は、ζ(s)を含むディリクレのL関数L(χ,s)の１次のゼータ以外の２次以上のｎ次ゼータでも実現されるのではないか。　２次の保型形式ゼータ（楕円曲線ゼータ）も分割できるのではなかろうか。

［２］

（１）分裂したゼータそれぞれの分身たちに対し、関数等式は存在するか。テイラーシステム（１２年前開発）の観点から、存在するような気がする。

（２）テイラーシステムを使って、分割級数（分割ゼータ）の特殊値を導出せよ。

（３）また、オイラー積はどうか。mod演算で特徴づけられた素数でそれぞれの分身たちのオイラー積が作れるか？

（４）分割ゼータ（分割級数）でリーマン予想は成り立つか？

［３］ゼータ分割は、群論とどこか関係しているような気がする。分割の操作は、群の４つの定義を満たしているか？　部分群。nのmodで。

［４］

（１）ζ(s)では奇数ゼータζ(3)、ζ(5)、・・でも分割できるのではないか。別の生成核関数が必要なはず。　L(s)では、偶数のL(2)、L(4)、・・・ではどうか。

（２）ζ(s)、L(s)以外の無数にあるＬ(χ,ｓ)の（虚or実の）２次体ゼータでも分割可能なはず。

［５］岩澤理論、クンマーの定理、イデアル類群との関連をさぐれ。

［６］（その１８）〜（その２０）で提示した予想は解けないか？　この予想、「分子係数和＝分母係数予想」と名付けます。

「分子係数和＝分母係数予想」

『ζ(2n)、L(2n-1)を分割した結果に関し、分子のｓｉｎ式におけるｓｉｎ項の係数の和（定数項も含める）と、分母ｃｏｓにかかる係数は一致するだろう。　ここで、nは1以上の整数。』

　例えば、Z(10)２分割の分身A1では、次のように成り立つ。（A2でも成立⇒(その２０)）

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　Z(10)のA1の値は次の通り。

　A1＝α^10 {62+1072(sβ)^2+1452(sβ)^4+247(sβ)^6+2(sβ)^8}/{2835(cβ)^10}

　分子のsin係数の和＝62+1072+1452+247+2＝2835、 分母のcos係数＝2835

　よって、予想は成り立っている。

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※［７］（その２５）、（その２６）で提示した「奇数出現位置予想」は解けないか？　

「奇数出現位置予想」

『分割されたζ(m)、L(m)の特殊値の分子において、奇数は一度だけ出現する。さらに次の関係を満たすサイン位置pに奇数が出現する。奇数が掛かるサインsinの指数の値をpとすると、 ｍ＋ｐ＝２^n

　ただし、分母と分子は最大限約分されているとする。ここでmは、ζ(m)では2以上の偶数、L(m)では1以上の奇数。nは1以上の整数。』

　例えば、Z(10)２分割の一つA1では、次のように成り立っている。（A2でも成立⇒(その２０)）

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　A1＝ α^10 {62+1072(sβ)^2+1452(sβ)^4+247(sβ)^6+2(sβ)^8}/{2835(cβ)^10}

　Z(10)を見ているので、m＝10である。分子には247という奇数が一度だけ出現している。247が掛かるサインsβは(sβ)^6であるからp＝6である。

　　10 + 6＝2^4

　よって、予想は成り立っている。

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※［８］ゼータの分割は、一意に実現されることを証明せよ。

　　例えば、あるゼータを１２分割したとき、「二通りの真の１２分割が実現される」などとというようなことが無いことを示せ。

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＜感想、つぶやき＞

［１］これは巨大テーマである。２次以上のゼータは、現代数学でもわからないことだらけ。一般のｎ次ゼータの分割など夢のまた夢。

［２］

（１）テイラーシステムでちょっと計算したところ、分割ゼータ（分割級数）の関数等式は”存在する”ような気がする。

　　　注記：テイラーシステムは2006年に発見したもの。これを使うと、ζ(s)やL(s)の”任意の実数点”の特殊値が簡単に導手できる。

（２）分割ゼータの関数等式がわかれば、できるんだろうが、むずかしい。いったん休止。

（３）解決。分割ゼータのオイラー積は存在しないとわかった。

（４）解決。分割ゼータでは、リーマン予想は成立しない。数値計算でわかった。

［３］これはいつか見えてくるはず。

［４］

（１）２か月前にやったが、失敗した。どこかで計算ミスしたはず。再トライ中。

（２）部分的に解決。ζ(s)、L(s)以外のL(χ,s)でも分割が可能なことはLN(s)実2次体Q(√5)、LA(s)虚2次体Q(√-3)のゼータで見た。まだまだ無数に２次体ゼータはあり・・

［５］岩澤理論とも地下水脈でつながっている気がする。

［６］と［７］は、どっちが難しいだろうか？　独断と偏見で、［６］の方が難しい。［７］は１カ月集中的にやれば解けそうな気がする。ゼータ分割の世界は魅惑的な構造がたくさんあって[7]ばかりやる気がしない。数学仲間に問うと［６］は「解けそうだ」という意見が多かった。私とは逆で面白い。

［８］一意に決まっているのだが、証明となると・・・？　　以上。（杉岡幹生）

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