ω＝ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2

　オイラーは楕円，双曲線，レムニスケートの求長積分、また，弾性曲線の問題でも，∫ωの積分に出会ったのである．

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　弾性曲線の性質は

　　ｆ（ｘ）＝∫(0,x)ｘ^2ｄｘ／（ａ^4−ｘ^4）^1/2

で与えられる．また０から（ｘ，ｙ）までの弧長は

　　ｓ（ｘ）＝∫(0,x)ｄｘ／（ａ^4−ｘ^4）^1/2

である．

　このとき，

　　ｆ（ａ）ｓ（ａ）＝πａ^2／４

が成り立つことを発見した．この発見は第１種，第２種楕円の周期の間に成り立つルジャンドルの関係式のレムニスケート版の他ならない．

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