【１】重三角錐の高さ

　まず，二等辺三角形（頂角ｔ）の底辺の長さをｂ，等辺の長さをｃとすると，

　　ｂ＝２ｃ・ｓｉｎ（ｔ／２）

　次に，重三角錐の高さｈを求めてみることにする．底面三角形の高さは

　　１／２・（４ｃ^2−ｂ^2−ｈ^2）^(1/2)

　　１／２・（４−ｈ^2）^1/2

の和である．

　ａ，ｂ／２，これらの和が直角三角形をなすから

　　ａ^2−ｂ^2／４＝（ｃ^2−ｂ^2／４−ｈ^2／４）＋１−ｈ^2／４＋２｛（ｃ^2−ｂ^2／４−ｈ^2／４）（１−ｈ^2／４）｝^1/2

　また，

　　１／２・（４ｃ^2−ｈ^2）^1/2

　　１／２・（４ｃ^2−ｂ^2−ｈ^2）^(1/2)

　　１／２・ｂが直角三角形をなすから

も

　　４ｃ^2−ｈ^2＝４ｃ^2−ｂ^2−ｈ^2＋ｂ^2

となって，これは不要である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ａ^2−ｂ^2／４＝（ｃ^2−ｂ^2／４−ｈ^2／４）＋１−ｈ^2／４＋２｛（ｃ^2−ｂ^2／４−ｈ^2／４）（１−ｈ^2／４）｝^1/2

　　ａ^2−（ｃ^2−ｈ^2／２＋１）＝２｛（ｃ^2−ｂ^2／４−ｈ^2／４）（１−ｈ^2／４）｝^1/2

　　｛ａ^2−（ｃ^2−ｈ^2／２＋１）｝^2＝４（ｃ^2−ｂ^2／４−ｈ^2／４）（１−ｈ^2／４）

　　｛ｈ^2／２＋ａ^2−ｃ^2−１｝^2＝４｛（ｃ^2−ｂ^2／４）−ｈ^2／４（ｃ^2−ｂ^2／４＋１）＋ｈ^4／１６｝

　　ｈ^4／４＋ｈ^2（ａ^2−ｃ^2−１）＋（ａ^2−ｃ^2−１）^2

＝（４ｃ^2−ｂ^2）−ｈ^2（ｃ^2−ｂ^2／４＋１）＋ｈ^4／４

　　ｈ^2｛（ａ^2−ｃ^2−１）＋（ｃ^2−ｂ^2／４＋１）｝＝（４ｃ^2−ｂ^2）−（ａ^2−ｃ^2−１）^2

　　ｈ^2（ａ^2−ｂ^2／４）＝（４ｃ^2−ｂ^2）−（ａ^2−ｃ^2−１）^2

　ａ＝ｂ，ｃ＝１とおくと

　　ｈ^2（３ｂ^2／４）＝４−ｂ^2−（ｂ^2−２）^2＝３ｂ^2−ｂ^4

　　ｈ^2＝４−４ｂ^2／３

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝