黄金比φには多くの性質があり，

　　１，φ，φ^2 ，φ^3 ，φ^4 ，φ^5 ，・・・

という等比数列を考えると，１＋φ＝φ^2 ですから

　　φ^n ＝φ^n-1 ＋φ^n-2

　ここで，ガウス記号［ｘ］（ｘを超えない最大の整数）を用いると，数列｛［φ^n-1 ］｝の各次数に対応して得られる整数列は

　　１，１，２，３，５，８，１３，・・・

初項１，第２項１から始まり，隣り合う２項の和が次の項となる数列，すなわち，フィボナッチ数列｛Ｆn ｝となります．

　　Ｆn ＝［φ^n-1 ］

すなわち，φ^n-1を切り捨てたというわけです．

　逆に，初項１，第２項１のフィボナッチ数列の一般項Ｆn は，

　Ｆn ＝Ｆn-1 ＋Ｆn-2

で

Ｆn ＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n −｛（１−√５）／２｝^n ］

　　＝１／√５｛φ^n −（−１／φ）^n ｝

Ｆ0 ＝０）

と黄金比φを使って表すことができます．

　この式は１７６５年にオイラーが初めて発表したものですが，みんなに忘れられていてそれを再発見したビネにちなんでビネの公式（１８４３年）と命名されています．整数の数列に無理数である√５や黄金比φ，１／φが出現する不思議に驚かれた経験をお持ちの方の少なくないでしょう．ｎが大きくなるほど｛（１−√５）／２｝^n は０に近づきますから，この項を無視するとフィボナッチ数列は黄金比を公比とする等比数列に次第に近づくことになります．

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