■サマーヴィルの等面四面体(その869)

 5次元の場合で解説すると

 x=(x1,x1,x1,x1,x2)

 y=(y1,y1,y1,y1,y2)

 xs=(x1+s,x1+s,x1+s,x1+s,x2+s)

とおく.(x1,y1)=(1,0),(x2,y2)=(−1/2,√3/2)

5×5行列v=[v1,v2,v3,v4,v5]の逆行列v^-1をuとする.

u=[u11,u12,u13,u14,u15]

  [u21,u22,u23,u24,u25]

  [u31,u32,u33,u34,u35]

  [u41,u42,u43,u44,u45]

  [u51,u52,u53,u54,u55]

未知数sを含む2×5行列

[x1+s,x1+s,x1+s,x1+s,x2+s]

[y1,    y1,  y1,  y1,  y2]

との積の2×5行列を

r=[r11,r12,r13,r14,r15]

  [r21,r22,r23,r24,r25]

とする.

r11=(x1+s)u11+(x1+s)u21+(x1+s)u31+(x1+s)u41+(x2+s)u51

r21=y1u11+y1u21+y1u31+y1u41+y2u51

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

r11=x1u11+su11+x1u21+su21+x1u31+su31+x1u41+su41+x2u51+su51

=x1u11+x1u21+x1u31+x1u41+x2u51+s(u11+u21+u31+u41+u51)

=x・u1+sumu1s

r21=y1u11+y1u21+y2u31+y2u41+y2u51=y・u1

と表すことができる.

r1 =[r11]=[sumu1s+x・u1]

   [r12] [sumu2s+x・u2]

   [r13] [sumu3s+x・u3]

   [r14] [sumu4s+x・u4]

   [r15] [sumu5s+x・u5]

|r1|^2=(Σsumui^2)s^2+2(Σsumui(x・ui))s+(Σ(x・ui)^2)

また,|r2|^2=Σ(y・ui)^2

|r1|^2=|r2|^2となるsは,2次方程式

(Σsumui^2)s^2+2(Σsumui(x・ui))s+(Σ(x・ui)^2−Σ(y・ui)^2)=0

の解である.

またはr1・r2=0となるsは,1次方程式

r1・r2=sΣsumui(y・ui)+Σ(x・ui)(y・ui)=0^

s=−Σ(x・ui)(y・ui)/Σsumui(y・ui)

 最後に

 [x2+s]=[r11,r12,r13,r14,r15][v6]

 [ −y2] [r21,r22,r23,r24,r25]

に移るはずである.

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