ξ＝２θ，ｔａｎ（ｎθ）＝ｎｔａｎθ

とおいて，ｎθを求めても同値である．

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　ｎθ＝ａｒｃｔａｎ（ｎｔａｎθ），ｙ＝ｎｔａｎθ

＝ｙ−ｖ^3／３＋ｙ^5／５−ｙ^7／７＋・・・

　正接のｎ倍角公式は，パスカルの三角形を用いて，次のように書くことができる．

　　ｔａｎｎθ＝（nC1ｔａｎθ−nC3ｔａｎ^3θ＋nC5ｔａｎ^5θ−・・・）／（nC0−nC2ｔａｎ^2θ＋nC4ｔａｎ^4θ−・・・）

　分母・分子の係数は，２項係数の符号が対で交代するパスカルの正接三角形

　　　　　　　　　　　　１

　　　　　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　１　　　２　　　−１

　　　　　　１　　　３　　　−３　　　−１

　　　　１　　　４　　　−６　　　−４　　　１

　　１　　　５　　−１０　　−１０　　　５　　　１

の形に並べることができる．ほとんどの教科書から消えてしまったが，美しい公式である．

　　ｔａｎｎθ＝（nC1ｔａｎθ−nC3ｔａｎ^3θ＋nC5ｔａｎ^5θ−・・・）／（nC0−nC2ｔａｎ^2θ＋nC4ｔａｎ^4θ−・・・）＝ｎｔａｎθ

　　（nC1−nC3ｔａｎ^2θ＋nC5ｔａｎ^4θ−・・・）＝ｎ（nC0−nC2ｔａｎ^2θ＋nC4ｔａｎ^4θ−・・・）

（nC1−ｎnC0）−（nC3−ｎnC2）ｔａｎ^2θ＋（nC5−nC4）ｔａｎ^4θ−・・・＋（nCn−ｎnCn-1）ｔａｎ^n-1θ＝０，ｎが奇数のとき

（nC1−ｎnC0）−（nC3−ｎnC2）ｔａｎ^2θ＋（nC5−nC4）ｔａｎ^4θ−・・・＋（nCn−ｎnCn-1）ｔａｎ^nθ＝０，ｎが偶数のとき

のようになる．

（nCk+1−ｎnCk）＝ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ−１）！−ｎ・ｎ！／（ｋ）！（ｎ−ｋ）！

＝ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ−１）！−ｎ（ｋ＋１）・ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ−１）！（ｎ−ｋ）

＝ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ−１）！・｛１−ｎ（ｋ＋１）／（ｎ−ｋ）｝

＝ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ−１）！・｛（−ｋ−ｎｋ）／（ｎ−ｋ）｝

＝−ｋ（ｎ＋１）！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！＝−ｋn+1Ｃk+1

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