■サマーヴィルの等面四面体(その846)

[Q]等面四面体の体積の最大値・最小値を求めよ.

であれば,問題としては成立する.

 等面多面体はa=c=1を満たさなければならない.したがって,

144V^2=2b^4(2−b^2)

 b=√2のとき,サマーヴィルの等面四面体はコラプス,b>√2のときは四面体を構成できなくなる.

B=b^2

144V^2=2B^2(2−B)

Bで微分すると

8B−6B^2=2B(4−3B)=0

B=4/3

a=1,b=2/√3,c=1のとき,体積は最大値

 144V^2=2・16/9(2−4/3)=2・16/9・2/3

 V^2=(2/3)^2/27,V=2/9√3をとる.

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[雑感]解は正四面体ではなく,サマーヴィルの等面四面体(a^2,b^2,c^2)=(3,4,3)である.

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