ピタゴラス直角三角形の面積は６の倍数ですが，それが平方数となる（ａ，ｂ，ｃ）は存在しません．

（Ｑ）ピタゴラスの問題ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2において，（３，４，５）がこの方程式を満たすことはよく知られている．ｘ，ｙの一方は偶数であるとして，ｘ，ｙ，ｚの少なくともひとつは３の倍数であり，少なくともひとつは４の倍数であり，少なくともひとつは５の倍数であることを証明せよ．

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（Ａ）ｘ，ｙ，ｚのいずれも３の倍数でないとすれば，それらは３ｋ±１の形であるから

　　（３ｋ±１）^2＝１　　（ｍｏｄ３）

より，ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2　　（ｍｏｄ３）の左辺は２，右辺は１となって不合理．

　ｘ，ｙ，ｚのいずれも４の倍数でないとすれば，それらは４ｋ±１，４ｋ±２の形である．

　　（４ｋ±１）^2＝１　　（ｍｏｄ８）

　　（４ｋ±２）^2＝４　　（ｍｏｄ８）

であるから，ｙを４ｋ±２の形とするとｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2　　（ｍｏｄ８）の左辺は５または０，右辺は１または４となって不合理．

　ｘ，ｙ，ｚのいずれも５の倍数でないとすれば，それらは５ｋ±１，５ｋ±２の形である．

　　（５ｋ±１）^2＝１　　（ｍｏｄ５）

　　（５ｋ±２）^2＝４　　（ｍｏｄ５）

<P />であるから，ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2　　（ｍｏｄ５）の左辺は２，０，３，右辺は１または４となって不合理．

　したがって，ピタゴラスの三角形においてｘｙは偶数であるから，面積は整数であり，ｘｙｚは６０の倍数であることも証明された．

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