（その８３８）にみられた難点はペンタグラムなどの簡単な幾何学的性質を用いて解消できる．

　たとえば，４次元正５胞体では

　　（２４Ｖ）^2＝｜１　ｘ　ｙ　ｙ｜

　　　　　　　　　｜ｘ　１　ｘ　ｙ｜

　　　　　　　　　｜ｙ　ｘ　１　ｘ｜

　　　　　　　　　｜ｙ　ｙ　ｘ　１｜，ｘ＋ｙ＝−１／２

で与えられる．

　（２４Ｖ）^2＝ｘ^4−２ｘ^3ｙ−ｘ^2ｙ^2−２ｘｙ^3＋ｙ^4＋４ｘ^3ｙ＋４ｘｙ^3−３ｘ^2−３ｙ^2＋１

＝（ｘ^2−３ｘｙ＋ｙ^2＋ｘ＋ｙ−１）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2−ｘ−ｙ−１）

＝（τｘ−ｙ／τ−１）（ｘ／τ−τｙ＋１）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2−ｘ−ｙ−１）

　この５胞体が３次元に退化する条件は

　　ｘ＝−ｃｏｓθ＝（√５−１）／４，または，−（√５＋１）／４

　　θ＝１０８°または３６°

　５胞体は一挙に２次元平面のペンタグラムに退化してします．

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　したがって，体積０の場合を考えるには，正ｎ角形に対角線をいれた図形を考えればよい．

［１］四面体

　　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝１

　　ＡＣ＝ＢＤ＝√２

　　ＡＤ＝１

［２］５胞体

　　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝１

　　ＡＣ＝ＢＤ＝ＣＥ＝τ

　　ＡＤ＝ＢＥ＝τ

　　ＡＥ＝１

［３］６次元単体

　　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝１

　　ＡＣ＝ＢＤ＝ＣＥ＝ＤＦ＝√３

　　ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ＝２

　　ＡＥ＝ＢＦ＝√３

　　ＡＦ＝１

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