［Ｑ］三角柱の大きさを一定（ｅ^2＝１）として，空間充填四面体の高さの最大値・最小値を求めよ．

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１４４Ｖ^2＝−ａ^2（ｃ^2−ａ^2）^2＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

９^3・１４４Ｖ^2

＝−（９＋ｃ^2）（９−８ｃ^2）^2＋（９＋４ｃ^2）^3

＝−（９＋Ｃ）（９−８Ｃ）^2＋（９＋４Ｃ）^3，Ｃ＝ｃ^2

＝−（９＋Ｃ）（８１−１４４Ｃ＋６４Ｃ^2）＋（７２９＋９７２Ｃ＋４３２Ｃ^2＋６４Ｃ^3）＝２１８７Ｃ

１４４Ｖ^2＝−（ｂ^2＋３）／４・（２ｂ^2−３）^2＋ｂ^6

４・１４４Ｖ^2＝−（ｂ^2＋３）・（２ｂ^2−３）^2＋４ｂ^6

４・１４４Ｖ^2＝−（Ｂ＋３）・（２Ｂ−３）^2＋４Ｂ^3

４・１４４Ｖ^2＝−（Ｂ＋３）・（４Ｂ^2−１２Ｂ＋９）＋４Ｂ^3

＝−４Ｂ^3＋１２Ｂ^2−９Ｂ−１２Ｂ^2＋３６Ｂ−２７＋４Ｂ^3

＝２７Ｂ−２７

１４４Ｖ^2＝−ａ^2（ｃ^2−ａ^2）^2＋ｂ^6

１４４Ｖ^2＝−ａ^2・（８ａ^2−９）^2＋（４ａ^2−３）^3

＝−Ａ・（８Ａ−９）^2＋（４Ａ−３）^3

＝２７Ａ−２７

Ｖ＝Ｓ・ｈ／３

ｈ＝３Ｖ／Ｓ，ｈ^2＝９Ｖ^2／Ｓ^2

ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓとおくと，ヘロンの公式より

Ｓ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

　　ｃ^2＝９ａ^2−９

　　４ｃ^2＝９ｂ^2−９

　しかし，このような計算をしなくても

　　ｈ^2＝３／４

であることは自明である．

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