■サマーヴィルの等面四面体(その822)

 等面四面体

AB=BC=CD=1

AC=BD=b

AD=1

の高さの最大値・最小値を求めよ.(その820)をやり直し.

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144V^2=2b^4(2−b^2),9V^2=b^4(2−b^2)/8

V=S・h/3

h=3V/S,h^2=9V^2/S^2

b+2=2sとおくと,ヘロンの公式より

S^2=s(s−1)^2(s−b)

=(b/2+1)b^2(1−b/2)/4=b^2(1−b^2/4)/4

=b^2(4−b^2)

h^2=9V^2/S^2=b^4(2−b^2)/8・1/b^2(4−b^2)

=b^2(2−b^2)/8(4−b^2)

H=8h^2=b^2(2−b^2)/(4−b^2)

H’={{4b−4b^3)(4−b^2)+2b(2b^2−b^4)}/(4−b^2)^2

={4b{1−b^2)(4−b^2)+2b(2b^2−b^4)}/(4−b^2)^2

H’の分子/2bは

=2{1−b^2)(4−b^2)+(2b^2−b^4)

=2(4−5b^2+b^4)+(2b^2−b^4)

=b^4−8b^2+8

b^2=4±√8

b=1.08239

b=2.61313(>√2より,等面四面体にならない)

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[まとめ]高さの最大値は,正四面体とサマーヴィルの等面四面体の間にある.

b=1,b=2/√3=1.1547

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