■サマーヴィルの等面四面体(その819)

AB=BC=CD=a

AC=BD=b

AD=c

の四面体の体積は,144V^2

=a^2c^2(a^2−c^2)

 +b^4(3a^2−2b^2+c^2)

 +a^4(−a^2+c^2)

で与えられる.

 a^2=1として,

[Q]等面四面体の体積の最大値・最小値を求めよ.

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 等面多面体はa=cを満たさなければならない.したがって,

144V^2=2b^4(2−b^2)

B=b^2

144V^2=2B^2(2−B)

Bで微分すると

8B−6B^2=2B(4−3B)=0

B=4/3

a=1,b=2/√3,c=1のとき,体積は最大値

 144V^2=2・16/9(2−4/3)=2・16/9・2/3

 V^2=(2/3)^2/27,V=2/9√3をとる.

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[雑感]解は正四面体ではなく,サマーヴィルの等面四面体(a^2,b^2,c^2)=(3,4,3)である.

 空間充填四面体はc^2=3(b^2−a^2)を満たさなければならないことから,サマーヴィル四面体は唯一の空間充填等面四面体でもあることが理解される.

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