■相反方程式と2次方程式の積(その5)

  a=1±(−2+√5)^1/2,1±(2+√5)^1/2

を4解とする整数係数方程式は

  (a^2−2a+3−√5)(a^2−2a+3+√5)=0

  (a^2−2a+3)^2−5=0

  (a−1)^4+4(a−1)^2+4−5=0

  (a−1)^4+4(a−1)^2−1=0

  a^4−4a^3+10a^2−12a+4=0

であったが,・・・

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[2]x=(−4+√21)/10±i(63+8√21)^1/2/10

は足して(−4+√21)/5,かけて1であるから

  x^2−(−4+√21)x/5+1=0

  5x^2−(−4+√21)x+5=0

の2解である.

  5x^2+4x+5−√21x=0

 整数係数の方程式が求めるものであるが,もし

  5x^2+4x+5+√21x=0

も解になるとしたら,

  (5x^2+4x+5)^2−21x^2=0

=25x^4+40x^3+66x^2+40x+25−21x^2

=25x^4+40x^3+45x^2+40x+25

5x^4+8x^3+9x^2+8x+5が得られる.

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[3]x=(−1+√7)/6±i(28+2√7)^1/2/6

は足して(−1+√7)/3,かけて1であるから

  x^2−(−1+√7)x/3+1=0

  3x^2−(−1+√7)x+3=0

の2解である.

  3x^2+x+3−√7x=0

 整数係数の方程式が求めるものであるが,もし

  3x^2+x+3+√7x=0

も解になるとしたら,

  (3x^2+x+3)^2−7x^2=0

=9x^4+6x^3+19x^2+6x+9−7x^2

=9x^4+6x^3+12x^2+6x+9

(x+1)(3x^4+2x^3+4x^2+2x+3)=

=3x^5+2x^4+4x^3+2x^2+3x+3x^4+2x^3+4x^2+2x+3

=3x^5+5x^4+6x^3+6x^2+5x+3

6x^5+10x^4+12x^3+12x^2+10x+6が得られる.

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