ｘ^yの形で表される数を完全ベキ乗数と呼ぶことにする．

　　｛ａn｝＝｛１，４，８，９，１６，２５，２７，３２，３６，・・・｝

　ここでは

　　Σ１／（ａn−１）＝？　　（ｎ≧２）

の値を求めたいのであるが，

　　Σ１／（ａn−１）≠Σ１／（ｘ^y−１）

２^4＝４^2＝１６のように２通りに表される場合，１度しか現れないことに注意．前者では１／１５は一度しか現れないが，後者では２度現れてしまうからである．

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【１】ゴールドバッハの公式

　　Σ１／（ａn−１）＝１　　（ｎ≧２）

すなわち，

　　１＝１／３＋１／７＋１／８＋１／１５＋１／２６＋１／３１＋１／３５・・・

（証）ゴールドバッハの和は，左辺を等比級数の和に直して

　　 Σｘ^-y＝Σ１／ｘ（ｘ−１）＝Σ｛１／（ｘ−１）−１／ｘ｝

に等しい．右辺＝１

　すなわち，

　　Σ１／（ａn−１）＝Σ１／ｎ（ｎ−１）　　（ｎ≧２）

なのである．

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【２】ａnの漸近個数関数

　完全ベキ乗数のなかでは完全平方数が圧倒的に多いので

　　ａn〜ｎ^2

と予想される．

　　ａn＜ｘとなる個数を計算して，個数〜√ｘであればａn〜ｎ^2である．より正確には

　　個数〜［√ｘ］＋［3√ｘ］−［6√ｘ］＋・・・

　　　　〜√ｘ＋Ｏ（3√ｘ・ｌｏｇｘ）

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