L(s)の”奇数分割”2n-1分割のn＝4,5の場合、すなわち７分割、９分割の事例を示します。L(1)を代表選手として見ていきます。

　　L(1)＝1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -15 + ・・＝π/4

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■L(1)７分割

A1＝ 1 -1/27 +1/29 -1/55 +1/57 -1/83 +・・ ＝(π/28)tan(13π/28)

A2＝1/3 -1/25 +1/31 -1/53 +1/59 -1/81 +・・＝(π/28)tan(11π/28)

A3＝1/5 -1/23 +1/33 -1/51 +1/61 -1/79 +・・＝(π/28)tan(9π/28)

A4＝1/7 -1/21 +1/35 -1/49 +1/63 -1/77 +・・＝(π/28)tan(7π/28)

A5＝1/9 -1/19 +1/37 -1/47 +1/65 -1/75 +・・＝(π/28)tan(5π/28)

A6＝1/11 -1/17 +1/39 -1/45 +1/67 -1/73 +・・＝(π/28)tan(3π/28)

A7＝1/13 -1/15 +1/41 -1/43 +1/69 -1/71 +・・＝(π/28)tan(π/28)

　A1 -A2 +A3- A4 +A5 -A6 +A7＝L(1) となっていることを確認ください。数値検証も行いました。左辺の級数が右辺値に一致し、右辺値の”A1 -A2 +A3- A4 +A5 -A6 +A7”がπ/4 になることを確認しました。

■L(1)９分割

A1＝ 1 -1/35 +1/37 -1/71 +1/73 -1/107 +・・ ＝(π/36)tan(17π/36)

A2＝1/3 -1/33 +1/39 -1/69 +1/75 -1/105 +・・＝(π/36)tan(15π/36)

A3＝1/5 -1/31 +1/41 -1/67 +1/77 -1/103 +・・＝(π/36)tan(13π/36)

A4＝1/7 -1/29 +1/43 -1/65 +1/79 -1/101 +・・＝(π/36)tan(11π/36)

A5＝1/9 -1/27 +1/45 -1/63 +1/81 -1/99 +・・ ＝(π/36)tan(9π/36)

A6＝1/11 -1/25 +1/47 -1/61 +1/83 -1/97 +・・＝(π/36)tan(7π/36)

A7＝1/13 -1/23 +1/49 -1/59 +1/85 -1/95 +・・＝(π/36)tan(5π/36)

A8＝1/15 -1/21 +1/51 -1/57 +1/87 -1/93 +・・＝(π/36)tan(3π/36)

A9＝1/17 -1/19 +1/53 -1/55 +1/89 -1/91 +・・＝(π/36)tan(π/36)

　A1 -A2 +A3- A4 +A5 -A6 +A7 -A8 +A9＝L(1) となっていることを確認ください。数値検証も行いました。左辺の級数が右辺値に一致し、右辺値の”A1 -A2 +A3- A4 +A5 -A6 +A7 -A8 +A9”がπ/4 になることを確認しました。

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　上の分割式の導出過程を簡単に述べます。次の部分分数展開式�@を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2) ---�@

　このxに次の値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。

　�@のxに13/14を代入すると、L(1)７分割のA1が得られる。

　�@のxに11/14を代入すると、L(1)７分割のA2が得られる。

　�@のxに9/14を代入すると、L(1)７分割のA3が得られる。

　�@のxに7/14を代入すると、L(1)７分割のA4が得られる。⇒L(1)１分割が出現！(7/14代入は1/2代入だから)

　�@のxに5/14を代入すると、L(1)７分割のA5が得られる。

　�@のxに3/14を代入すると、L(1)７分割のA6が得られる。

　�@のxに1/14を代入すると、L(1)７分割のA7が得られる。

　�@のxに17/18を代入すると、L(1)９分割のA1が得られる。

　�@のxに15/18を代入すると、L(1)９分割のA2が得られる。 ⇒L(1)３分割が出現！(15/18代入は5/6代入だから)

　�@のxに13/18を代入すると、L(1)９分割のA3が得られる。

　�@のxに11/18を代入すると、L(1)９分割のA4が得られる。

　�@のxに9/18を代入すると、L(1)９分割のA5が得られる。⇒L(1)１分割が出現！(9/18代入は1/2代入だから)

　�@のxに7/18を代入すると、L(1)９分割のA6が得られる。

　�@のxに5/18を代入すると、L(1)９分割のA7が得られる。

　�@のxに3/18を代入すると、L(1)９分割のA8が得られる。 ⇒L(1)３分割が出現！(3/18代入は1/6代入だから)

　�@のxに1/18を代入すると、L(1)９分割のA9が得られる。

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　このようにL(1)の７分割、９分割が求まりました。

　今回も（その２２）の2n分割で見た『2n分割においてそれが2^n分割でない場合は、その当該分割以外の分割の結果も含まれる』と類似の現象が出ています。

　上記の７分割のA4で、次のように書きました。

　”�@のxに7/14を代入すると、L(1)７分割のA4が得られる。→L(1)１分割が出現！(7/14代入は1/2代入だから)”

　これは、L(1)７分割のA4の左辺を変形し、右辺tanの()内を約分すると次のようになるということです。

A4＝(1/7)(1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +・・) ＝(1/7){(π/4)tan(π/4)}

　これはL(1)そのもの（１分割）になっているというわけです！

９分割でも上記の→の所で三つ同類の現象が出ています。

　このようにきれいな規則にしたがってL(1)の分身たちが生み出されていく様子がわかると思います。基本規則は次の通りです。まず1/2代入でL(1)１分割が出ることに着目。「７分割を出したい！」場合は2×7に着目して、x＝○/14を�@に代入すればよい。

　これまで見てきたようにL(s)は、2n分割のみならず、2n-1分割も可能です。それは、計算過程でL(s)の分身たちのディリクレ指標が”任意のn分割で”保存されることからわかります。(注記：A1 -A2 +A3- A4 +A5 -A6 +A7＝L(1) のように、分身たちに”-1”を掛けるという調整は行います）

　L(s)の事例は十分に見たので、L(s)の”明示的な”特殊値の分割に関してはこの辺で終了とします。

　これまでの考察から、『L(1),L(3),L(5)・・はn分割可能である(nは1以上の整数)』という驚くべきことがわかったことになります。　　（杉岡幹生）

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