■DE群多面体の面数公式(その121)

[1]321

 N0=x/72・6!=56,x=576・7!

 N1=x/2・2^4・5!=756

 N2=x/6・5!=4032(α2)

 N3=x/24・6・2=10080(α3)

 N4=x/5!・2=12096(α4)

 N5=x/6!・2+x/6!=2016(α5)+4032(α5)

 N6=x/7!+x/2^5・6!=576(α6)+126(β6)

 N0+N2+N4+N6=N1+N3+N5+2=16886

 321の頂点図形は221=E6

(27,216,720,1080,216(α4)+432(α4),72(α5)+27(β5))

321の各頂点に連結する辺は27本

したがって,321の辺数は56・(27/2)=756 (OK)

321の各頂点に連結する面は216

したがって,221の面数は56・(216/3)=4032 (OK)

321の各頂点に連結する3次元面は720

したがって,321の面数は56・(720/4)=10080 (OK)

321の各頂点に連結する4次元面は1080

したがって,321の面数は56・(1080/5)=12096  (OK)

321の各頂点に連結する5次元面は648

したがって,321の面数は56・(648/6)=6048  (OK)

321の各頂点に連結する321の6次元面は27個の311=β6と72個の320=α6

56・(27/12+72/7)=126+576  (OK)

===================================

[2]231

 231は126頂点

 ファセット221=E6は56個=|E7|/|E6|

 ファセット230=α6は576個=|E7|/|A6|

231の頂点図形は131=hγ6:

(32,240,640,640,252,44)

=(32,240,640,640,192+60,32α5+12hγ5)

したがって,231の各頂点に連結する辺は32本

辺数は126・(32/2)=2016

231の各頂点に連結する面は240

面数は126・(240/3)=10080

231の各頂点に連結する231の6次元面は,131のファセットが32+12であることから12個の221=E6,32個の230=α6に属する.

===================================

12個の221=E6,32個の230=α6から生じる5次元面は

220=α5,211=β5,220=α5である.したがって,

231の各頂点に連結する231の5次元面は,131のファセット(−1)が192+60であることから60個の211=β5,192個の130=α5に属する.

126・(60/10+192/6)=756+4032

220=α5,211=β5,220=α5から生じる4次元面はα4.したがって,

231の各頂点に連結する4次元面は640

面数は126・(640/5)=16128

===================================

[3]132

 132の頂点数は576,頂点図形は032=t2α6

(35,210,350,245,84,14)

 ファセット122は56個=|E7|/|E6|

 ファセット131=hγ6は126個=|E7|/|D6|

t2α6={3,3,3,3,3}(0,0,1,0,0,0)

(35,210,350,245,84,14)

(35,210,350,105+140,21+63,7+7)

15・7−5・21+1・35=35

60・7−10・21+0・35=210

80・7−10・21+0・35=350

45・7−5・21+0・35+1・35=245

12・7−1・21+0・35+0・35+1・21=84

1・7−0・21+0・35+0・35+0・21+1・7=14

{3,3,3,3,3}(0,0,1,0,0,0)

{3,3,3,3}(0,1,0,0,0)×{}(0)

{3,3,3}(1,0,0,0)×{3}(0,0)

{3,3}(0,0,0)×{3,3}(0,0,1)

{3}(0,0)×{3,3,3}(0,0,1,0)

{}(0)×{3,3,3,3}(0,0,1,0,0)

5次元面は

{3,3,3,3}(0,1,0,0,0):{3,3,3,3}(0,0,1,0,0)=7:7

4次元面は

{3,3,3,3}(0,1,0,0,0)から派生するもの

  {3,3,3}(1,0,0,0)

  {3,3,3}(0,1,0,0)

{3,3,3,3}(0,0,1,0,0)から派生するもの

  {3,3,3}(0,0,1,0)

  {3,3,3}(0,1,0,0)→1:3=21:63

3次元面はそれらから派生するので,

  {3,3}(1,0,0)

  {3,3}(0,1,0)

  {3,3}(1,0,0)

  {3,3}(0,1,0)

  {3,3}(0,0,1)

  {3,3}(0,0,1)

  {3,3}(0,1,0)→3:4=105:140

===================================

132の各頂点に連結する辺は35本

したがって,132の辺数は576・(35/2)=10080

132の各頂点に連結する面は210

したがって,132の面数は576・(210/3)=40320

132の各頂点に連結する3次元面は350

したがって,321の面数は576・(350/4)=50400

===================================

132の各頂点に連結する132の6次元面は56個の122と126個の131=hγ6

576・(x/72+y/32)=56+126=182

x+y=14,x=7,y=7

132の各頂点に連結する132の5次元面は

121=hγ5と130=α5

576・(x/16+y/6)=36x+96y=N

x+y=84

x=21,y=63,N5=756+6048

132の各頂点に連結する132の4次元面は

111=hγ4と120=α4

576・(x/8+y/5)=N

x+y=245

x=105,y=140,N4=10080+16128

===================================