L(s)は３分割、５分割も可能とわかったので報告します。

　これまで「L(s)は少なくとも2n分割（偶数分割）可能である」ことはわかっていました。そして2n分割が最良だろうとばくぜんと思っていましたが、私の思い違いでした。L(s)は奇数分割も可能なようです。

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　今回は３分割、５分割を例として報告します。2n-1分割可能！であることはほぼ間違いありませんが、一般化はもう少し先に述べます。この奇数分割も真の分割になっています。

　次のL(1)を例にとり、2n-1分割のn＝1,2,3の場合すなわち１分割、３分割、５分割を見てみます。これまで見てきたようにL(3)、L(5)、L(7)・・も本質的に同じなので、L(1)を代表選手として示します。なお１分割は、L(s)そのもので”分割無し”ですが、規則性を見る上で大事なのでこれも記しました。

　　L(1)＝1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -15 + ・・＝π/4

■L(1)１分割

A1＝ 1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +・・ ＝(π/4)tan(π/4)

　あえてtan()の形を残しました。

■L(1)３分割

A1＝ 1 -1/11 +1/13 -1/23 +1/25 -1/35 +・・ ＝(π/12)tan(5π/12)

A2＝1/3 -1/9 +1/15 -1/21 +1/27 -1/33 +・・＝(π/12)tan(3π/12)

A3＝1/5 -1/7 +1/17 -1/19 +1/29 -1/31 +・・＝(π/12)tan(π/12)

　A1 -A2 +A3＝L(1) であることを確認ください。一応念のため、上記全式に対し数値検証しましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。

■L(1)５分割

A1＝ 1 -1/19 +1/21 -1/39 +1/41 -1/59 +・・ ＝(π/20)tan(9π/20)

A2＝1/3 -1/17 +1/23 -1/37 +1/43 -1/57 +・・＝(π/20)tan(7π/20)

A3＝1/5 -1/15 +1/25 -1/35 +1/45 -1/55 +・・＝(π/20)tan(5π/20)

A4＝1/7 -1/13 +1/27 -1/33 +1/47 -1/53 +・・ ＝(π/20)tan(3π/20)

A5＝1/9 -1/11 +1/29 -1/31 +1/49 -1/51 +・・ ＝(π/20)tan(π/20)

　A1 -A2 +A3 -A4 +A5＝L(1) であることを確認ください。上記全式に対し数値検証しましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。

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　上の分割式の導出過程を簡単に述べます。次の部分分数展開式�@を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2) ---�@

　このxに次の値を代入することで、５分割された級数とその値が求まります。

　�@のxに9/10を代入すると、L(1)５分割のA1が得られる。

　�@のxに7/10を代入すると、L(1)５分割のA2が得られる。

　�@のxに5/10を代入すると、L(1)５分割のA3が得られる。

　�@のxに3/10を代入すると、L(1)５分割のA4が得られる。

　�@のxに1/10を代入すると、L(1)５分割のA5が得られる。

また３分割、１分割も同様にして求まります（３分割は○/6代入）。

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　このようにL(1)の１分割、３分割、５分割が求まりました。

　さて、今回の奇数分割の場合でも、（その２２）の2n分割で見た”興味ある特徴”が出ているので見てみましょう。

　それは『2n分割においてそれが2^n分割でない場合は、その当該分割以外の分割の結果も含まれる』と類似の現象なのですが、５分割を例に説明します。

　５分割のA3は次の通りです。

　A3＝1/5 -1/15 +1/25 -1/35 +1/45 -1/55 +・・＝(π/20)tan(5π/20)

　この左辺を変形し、右辺tanの()内を約分すると次のようになります。

A3＝1/5(1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +・・)＝(π/20)tan(π/4)

　これはL(1)そのもの（１分割）です！

　「５分割では、その当該分割以外の分割の結果（１分割）も含まれて、真の分割が実現される」という形になっているのです。

（その２２）の2n分割では１分割は出ませんでしたが、奇数分割では真ん中のものにおいて（５分割ではA3で）、１分割が出る形になっています。2n分割と2n-1分割では微妙な違いがあります。３分割もA2で同じようになっていることを確認してください。面白いですね。　　（杉岡幹生）

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