数のパターンをみると，帰納法を使って証明したくなるが，計算しなくても答えがわかる場合が少なくない．なかには計算してはならないものもある．

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　　１＋　　２　　＋３＋・・・＋（ｎ−１）＋ｎ

　＋ｎ＋（ｎ−１）＋・・・・・・・＋２　　＋１＝（ｎ＋１）×ｎ

したがって

　　１＋２＋３＋・・・＋（ｎ−１）＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

これより

　１から１００までの数の和は５０５０である．

　１から２００までの数の和は２０１００である．

　２から２００までの偶数の和は

　　２＋４＋・・・＋２００＝２｛１＋２＋・・・＋１００）＝１０１００

　１から１９９までの奇数の和は２０１００−１０１００＝１００００

１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2

たとえば

　　１＋３＋５＋７＋９＝５^2

などはグノモンを使って図式説明がなされる．

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　１＋２＝３

　４＋５＋６＝７＋８

　９＋１０＋１１＋１２＝１３＋１４＋１５

　１６＋１７＋１８＋１９＋２０＝２１＋２２＋２３＋２４

　２５＋２６＋２７＋２８＋２９＋３０＝３１＋３２＋３３＋３４＋３５

左辺は平方数から始まるが，たとえば，

　２５＋２６＋２７＋２８＋２９＋３０＝３１＋３２＋３３＋３４＋３５

から２５を除くと

　２６＋２７＋２８＋２９＋３０＝（３１−５）＋（３２−５）＋（３３−５）＋（３４−５）＋（３５−５）

したがって，

　２６＋２７＋２８＋２９＋３０＝（３１＋３２＋３３＋３４＋３５）−２５

より

　２５＋２６＋２７＋２８＋２９＋３０＝３１＋３２＋３３＋３４＋３５

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　ここでは，奇数の和を考える．

　１＝１＝１^3

　３＋５＝８＝２^3　

　７＋９＋１１＝２７＝３^3

　１３＋１５＋１７＋１９＝４８＝４^3

　２１＋２３＋２５＋２７＋２９＝１２５＝５^5

とれも和は立方数になる．中央には平方数が入る．　

　２１＋２３＋２５＋２７＋２９＝１２５＝５^5

の場合，５数の平均は５^2であるから和は５^3になるというわけである．

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　１^3＝１＝１^2

　１^3＋２^3＝９＝３^2

　１^3＋２^3＋３^3＝３６＝６^2

　１^3＋２^3＋３^3＋４^3＝１００＝１０^2

　１^3＋２^3＋３^3＋４^3＋５^3＝２２５＝１５^2

右辺は三角数の２乗になる．

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　１＋１＝２＝２^1

　１＋２＋１＝４＝２^2

　１＋３＋３＋１＝８＝２^3

　１＋４＋６＋４＋１＝１６＝２^4

　１＋５＋１０＋１０＋５＋１＝３２＝２^5

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