ゼータ分割に関し、別の新しい予想が生まれましたので報告します。「奇数出現位置予想」（短く奇数予想）と名付けます。

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■「奇数出現位置予想」

　分割されたζ(m)、L(m)の特殊値の分子において、奇数は一度だけ出現する。さらに次の関係を満たすサイン位置pに奇数が出現する。

　奇数が掛かるサインsinの指数の値をpとすると、

　　　m + p＝2^n

　ただし、分母と分子は最大限約分されているとする。ここでmは、ζ(m)では2以上の正の偶数、L(m)では1以上の正の奇数。nは1以上の整数。

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　例としてL(7)とZ(10)をとりあげ、予想が成り立っているか見ておきます。

[例１]L(7)２分割

　A1＝α^7 {17sβ+26(sβ)^3+2(sβ)^5}/{45(cβ)^7}

　L(7)を見ているので、m＝7である。

　右辺の分子には17という奇数が一度だけ出現している。17が掛かるサインsβ（sin(3π/8)のこと）はsβつまり(sβ)^1であるからp＝1である。

　　7 + 1＝2^3

　であり、予想は成り立っている。

[例２]Z(10)２分割

　A1＝ α^10 {62+1072(sβ)^2+1452(sβ)^4+247(sβ)^6+2(sβ)^8}/{2835(cβ)^10}

　Z(10)を見ているので、m＝10である。

　右辺の分子には、247という奇数が一度だけ出現している。247が掛かるサインsβは(sβ)^6であるからp＝6である。

　　　10 + 6＝2^4

であり、予想は成り立っている。

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　以上の通りです。

　この予想、どう思われたでしょうか。もちろん証明は現段階では見当もつきません。

　私はまず最初「分子に奇数は１回しか出現していない」と気づきました。それで「分子に奇数は1回しか出現しない」予想ができたと思いました。しかしさらによく観ると、奇数が順番にぐるぐる循環しているような気がしてきて、そして予想に到達しました。それにしても、どうしてこんなことになっているのでしょうか。

　例は二つ示しましたが、他でも全部成り立っているので確認してください。Z(2)では、分子は1(Sβ)^0と解釈します。

　この規則性によって、「分割されたゼータの分子のどの位置に奇数が出現するか」がわかってしまいます。

上記では見ていませんが、Z(14)では、サイン(sβ)^2の位置に奇数が出るはずです！なぜなら、14+2=16=2^4だから。

　そしてまた、L(253)では、サイン(sβ)^3の位置に奇数が出るはずです！なぜなら、253+3=256=2^8だから。

　なお、本予想における分子のサインの最大の指数値はζ(m)、L(m)のmより小さくなります。（最大のpはp＝m-2になります。上記を観察してください。）

　この関係が延々と無限に続いているのではないか？というのが、「奇数出現位置予想」です。L(253)などを計算するのは手計算では無理ですが、フェルマー予想のように見事に解くことが可能なのでしょうか。

　ゼータの美と調和を考えると、予想は正しいに違いないと思っています。

　岩澤理論はゼータの特殊値に現われる”非正則素数”の出現位置情報など、その特殊値の意味をさぐるものだそうです。例えば、ζ(12)の特殊値には分子に突然、非正則素数691が出現しますが、その出現位置がわかる（何番目のnのζ(2n)にそれが出るかわかる）というものです。この辺は「無解析の源流」（現代数学社、高橋浩樹著）に興味深い記事があります。

　今回の奇数出現位置予想は、分割されたゼータの特殊値における「分子のどこに奇数が出現するか」を述べたものといえるかもしれません。　　　（杉岡幹生）

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