L(s)が2n分割可能とわかったことから前回はL(1)の６分割、１０分割例を見ましたが、今回は１２分割例を報告します。最後にゼータ分割における予想や問題を思いつくままあげました。

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　次のL(1)を例にとり、2n分割のn＝6の場合すなわち１２分割を示します。

　　L(1)＝1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -15 + ・・＝π/4

■L(1)１２分割

A1＝ 1 -1/47 +1/49 -1/95 +1/97 -1/143 +・・ ＝(π/48)tan(23π/48)

A2＝1/3 -1/45 +1/51 -1/93 +1/99 -1/141 +・・＝(π/48)tan(21π/48)

A3＝1/5 -1/43 +1/53 -1/91 +1/101 -1/139 +・・＝(π/48)tan(19π/48)

A4＝1/7 -1/41 +1/55 -1/89 +1/103 -1/137 +・・ ＝(π/48)tan(17π/48)

A5＝1/9 -1/39 +1/57 -1/87 +1/105 -1/135 +・・ ＝(π/48)tan(15π/48)

A6＝1/11 -1/37 +1/59 -1/85 +1/107 -1/133 +・・ ＝(π/48)tan(13π/48)

A7＝1/13 -1/35 +1/61 -1/83 +1/109 -1/131 +・・ ＝(π/48)tan(11π/48)

A8＝1/15 -1/33 +1/63 -1/81 +1/111 -1/129 +・・ ＝(π/48)tan(9π/48)

A9＝1/17 -1/31 +1/65 -1/79 +1/113 -1/127 +・・ ＝(π/48)tan(7π/48)

A10＝1/19 -1/29 +1/67 -1/77 +1/115 -1/125 +・・ ＝(π/48)tan(5π/48)

A11＝1/21 -1/27 +1/69 -1/75 +1/117 -1/123 +・・ ＝(π/48)tan(3π/48)

A12＝1/23 -1/25 +1/71 -1/73 +1/119 -1/121 +・・ ＝(π/48)tan(π/48)

　A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6 +A7 -A8 +A9 -A10 +A11 -A12＝L(1) であることを確認ください。上記全式に対し数値検証しましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。

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　上の分割式の導出過程を簡単に述べます。次の�@の部分分数展開式を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2) ---�@

　このxに次の値を代入することで、分割された級数が求まります。

　�@のxに値23/24を代入すると、A1が得られる。

　�@のxに値21/24を代入すると、A2が得られる。

　�@のxに値19/24を代入すると、A3が得られる。

　�@のxに値17/24を代入すると、A4が得られる。

　�@のxに値15/24を代入すると、A5が得られる。

　�@のxに値13/24を代入すると、A6が得られる。

　�@のxに値11/24を代入すると、A7が得られる。

　�@のxに値 9/24を代入すると、A8が得られる。

　�@のxに値 7/24を代入すると、A9が得られる。

　�@のxに値 5/24を代入すると、A10が得られる。

　�@のxに値 3/24を代入すると、A11が得られる。

　�@のxに値 1/24を代入すると、A12が得られる。

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　このようにL(1)の１２分割が求まりました。

　さて、前回の最後に指摘した2n分割における興味ある特徴をすこし見てみることにします。

　それは『2n分割においてそれが2^n分割でない場合は、その当該分割以外の分割の結果も含まれる。』に関するものですが、１２分割ではどうなっているか、早速見てみましょう。

　A2,A5,A8,A11は上記から次の通りです。

A2＝1/3 -1/45 +1/51 -1/93 +1/99 -1/141 +・・＝(π/48)tan(21π/48)

A5＝1/9 -1/39 +1/57 -1/87 +1/105 -1/135 +・・ ＝(π/48)tan(15π/48)

A8＝1/15 -1/33 +1/63 -1/81 +1/111 -1/129 +・・ ＝(π/48)tan(9π/48)

A11＝1/21 -1/27 +1/69 -1/75 +1/117 -1/123 +・・ ＝(π/48)tan(3π/48)

　右辺tanの()内が約分できることに注目してください。

　tan(21π/48) はtan(7π/16) であり、tan(15π/48) はtan(5π/16) です。またtan(9π/48) はtan(3π/16) であり、tan(3/π48) はtan(π/16) です。

　さらに、左辺は次のように変形できます。

A2＝1/3 -1/45 +1/51 -1/93 +1/99 -1/141 +・・＝1/3(1 -1/15 +1/17 -1/31 +1/33 -1/47 +・・)

A5＝1/9 -1/39 +1/57 -1/87 +1/105 -1/135 +・・ ＝1/3(1/3 -1/13 +1/19 -1/29 +1/35 -1/45 +・・ )

A8＝1/15 -1/33 +1/63 -1/81 +1/111 -1/129 +・・ ＝1/3(1/5 -1/11 +1/21 -1/27 +1/37 -1/43 +・・ )

A11＝1/21 -1/27 +1/69 -1/75 +1/117 -1/123 +・・ ＝1/3(1/7 -1/9 +1/23 -1/25 +1/39 -1/41 +・・ )

　これらは４分割の結果とまったく同じであることに気づきます。すなわち、A2 -A5 +A8 -A11＝L(1)となっているのです！ なお４分割の場合に関しては（その１４）を参照ください。

　前回見た６分割や１０分割では、２分割の結果が含まれる形になり、それを合わせて真の分割が実現されていました。今回の１２分割では、４分割の結果が含まれる形になり、それを合わせて真の分割が実現されているのです。面白いですね。

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