Wythoff's constructon for uniform polytopes, p49

は何を求めているかわからないので，これまで培った自然な組み合わせ論的方法を採ってみたい．

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【１】Ｄnの大域幾何学

　ｎ半立方体Ｈnのファセットは

　　２^n-1個のｎ−１正単体と２ｎ個のｎ−１半立方体

からなる．ｆn-1＝２^n-1＋２ｎ，また，ｆ0＝２^n-1

　２次元：（２，１）

　３次元：（４，６，４）　　　（正四面体）

　４次元：（８，２４，３２，１６）　　　（正１６胞体）

　５次元：（１６，８０，１６０，１２０，２６）

　６次元：（３２，２４０，６４０，６４０，２５２，４４）

　７次元：（６４，６７２，２２４０，２８００，１６２４，５３２，７８）

である．

　半立方体（ｎ次元の超立方体において，ひとつおきの頂点（全体で２^n-1個）を結んでできる図形）の要素数を計算してみたところ，

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（４，６，４）　　　（正四面体）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（８，２４，３２，１６）　　　（正１６胞体）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１６，８０，１６０，１２０，１６＋１０）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（３２，２４０，６４０，６４０，１９２＋６０，３２＋１２）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（６４，６７２，２２４０，２８００，１３４４＋２８０，４４８＋８４，６４＋１４）

　ｆ2は正三角形，ｆ3は正四面体，ｆ4以上で２種類の形の各々の和

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【２】Ｅ6の大域幾何学

　｜Ｅ6｜＝６！・３・２^3・３＝７２・６！＝ｘ

　Ｎ0＝ｘ／２^4・５！＝２７

　Ｎ1＝ｘ／２・５！＝２１６

　Ｎ2＝ｘ／６・２・６＝７２０（α2）

　Ｎ3＝ｘ／２４・２＝１０８０（α3）

　Ｎ4＝ｘ／５！・２＋ｘ／５！＝２１６（α4）＋４３２（α4）

　Ｎ5＝ｘ／６！＋ｘ／２^4・５！＝７２（α5）＋２７（β4）

　Ｎ0＋Ｎ2＋Ｎ4＝Ｎ1＋Ｎ3＋Ｎ5＝１３９５

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【３】当該多胞体の要素数

頂点数はｈγ5の頂点数×Ｎ0＝１６・２７＝４３２　　（ＯＫ）

辺数はα4の辺数×Ｎ0＋α4の頂点数×Ｎ1＝１０・２７＋５・２１６＝１３５０　　（ＮＧ）

辺数はｈγ4の辺数×Ｎ0＋ｈγ4の頂点数×Ｎ1＝２４・２７＋８・２１６＝２３７６　　（ＮＧ）

面数は？の面数×Ｎ0＋？の辺数×Ｎ1＋？の頂点数×Ｎ2＝

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