【１】√２の近似値とヘロン数列

　　ｐ／ｑ→（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）

に次ぐ第３の近似分数は

　　ｐ／ｑ→（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）→（３ｐ＋４ｑ）／（２ｐ＋３ｑ）

となりますが，

　　（３ｐ＋４ｑ）／（２ｐ＋３ｑ）

にｐ＝１，ｑ＝１を代入すると過小評価（−１）側の分数列

　　（−１）　1/1＜7/5＜41/29＜239/169＜・・・＜√２

ｐ＝３，ｑ＝２を代入すると過大評価（＋１）側の分数列が得られます．

　　√２＜・・・＜577/408＜99/70＜17/12＜3/2　（＋１）

すなわち（３ｐ＋４ｑ）／（２ｐ＋３ｑ）では分数を１つ飛び越えているので収束が加速されます．ここでは別の収束加速法を紹介します．

　ａがｘ^2＝０の解ならばａ＝２／ａが成り立ちます．ａがいくらか不正確，たとえば過小評価であるならば，２／ａは過大評価となります．過小評価と過大評価の中間（算術平均）はａと２／ａのいずれよりもよい評価となります．かくして算術平均：

　　ａn+1=1/2(ａn+2/ａn)

によって定義される数列は√(2)に収束することになります（ヘロンのアルゴリズム）．

　ヘロンのアルゴリズムは，算術平均・幾何平均の不等式

　　（ａ＋ｂ）／２≧√ａｂ

において，ｂ＝２／ａの場合となっています．

　　１／２（ａ＋２／ａ）≧√２

　また，この場合，２の平方根をニュートン法x:=x-f(x)/f'(x)で求めるのと同じことになります．ニュートン法の幾何学的意味は「初期値ｘ0における関数の勾配を求めて，接線とｘ軸の交点を求める．この点において，同様の作業を行うとｘは順次解に近づいていく．」と解釈されます．

　ａ＝１を１／２（ａ＋２／ａ）に代入すると３／２が得られますが，これを繰り返すと

>　　1→3/2→17/12（１つ飛び越え）→577/408（３つ飛び越え）→665857/470832（７つ飛び越え）→（１５飛び越え）→・・・

　　1,3/2,17/12,577/408,665857/470832,･･･

はヘロン数列と呼ばれます．

　また，ａ＝ｐ／ｑから始めることにすると

　　１／２（ａ＋２／ａ）＝（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ＋２ｑ）／（ｐ＋ｑ）

は１次分数列でしたが，

　　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

は２次分数列になっています．

　さらに，高次分数列

　　ｐ／ｑ→（ｐ^3＋６ｐｑ^2）／（３ｐ^2ｑ＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^4＋１２ｐ^2ｑ^2＋４ｑ^4）／４ｐｑ（ｐ^2＋２ｑ^2）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^5＋２０ｐ^3ｑ^2＋２０ｐｑ^4）／（５ｐ^4ｑ＋２０ｐ^2ｑ^3＋４ｑ^5）

　　ｐ／ｑ→（ｐ^6＋＋３０ｐ^4ｑ^2＋６０ｐ^2ｑ^4＋８ｑ^6）／（６ｐ^5ｑ＋４０ｐ^3ｑ^3＋２４ｐｑ^5）

は驚異的なスピードで√２に近づきます．

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