■DE群多面体の面数公式(その27)

【1】321

 「万華鏡」p338より

 321の頂点は(−3,1,1,1,1,1,1,−3)

  (−3,−3,1,1,1,1,1,1)

  (3,3,−1,−1,−1,−1,−1,−1)とその置換

 (外接球をもつと仮定している)

 したがって,半径^2は2・3^2+6=24→2√6

 頂点間距離^2=4^2+4^2=32→4√2

 頂点間距離が2のとき,半径は√3

 R^2=1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/21+a7^2=3

=1+1/3+1/6+1/10+1/15+2/6+b7^2

 1+1/3+1/6+1/10+1/15=(30+10+5+3+2)/=5/3

 R^2=5/3+1/3+b7^2=5/3+1/21+a7^2=3

 a7^2=(63−35−1)/21=9/7

 b7^2=(9−5−1)/3=1=ρ^2

 (R/ρ)^2=3

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【2】331

 E7格子の場合である(内接球をもつと仮定している)

  P1(1,0,0,0,0,0,0)

  P7(1,1/√3,1/√6,1/√6,1/√3,1,0)

  P7(1,1/√3,1/√6,1/√6,0,0,1/2)

が正しいとすると・・・

 R^2=1+1/3+1/6+1/6+1/3+1

=(6+2+1+1+2+6)/6=3

 ρ^2=1

 E7では(R/ρ)^2=3なのでOK.

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