三角関数を一般化したものとしては楕円関数（１８００年代）が代表的ですが，これらの関数を用いてアーベル関数論（１９００年代）への発展が見られました．

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【１】オイラーと三角関数

　オイラーは三角関数ｓｉｎｘの零点が０，±π，±２π，±３π，・・・であることから三角関数を因数分解して，無限乗積

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2π^2）

　　ｓｉｎ（πｘ）＝πｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2）＝π／Γ（ｘ）Γ（１−ｘ）

を得ました．

　ｓｉｎｘの無限乗積とベキ級数展開（テイラー展開）

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・

を用いれば，偶数ゼータの値

　　ζ（２）＝π^2／６，ζ（４）＝π^4／９０，ζ（６）＝π^6／９４５，ζ（８）＝π^8／９４５０，・・・

が得られます．

　　Ｓ1（ｘ）＝２ｓｉｎ（πｘ）＝２πｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2）＝（ｅｘｐ（πｉｘ）−ｅｘｐ（−πｉｘ））／ｉ

と定義すると，ｎ分値，２ｎ分値に関して

　　ΠＳ1（ｋ／２ｎ）＝ｎ^(1/2)　　　(k=1~n-1)

　　ΠＳ1（ｋ／ｎ）＝ｎ　　　(k=1~n-1)　　（→楕円関数への一般化がある）

が成り立ちます．

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【２】レムニスケート三角関数

　　ｓｌ（ｘ）＝ｘΠ（１−ｘ^4／α^4）／Π（１−ｘ^4／β^4）

　　α＝（ｍ＋ｎｉ）ω，β＝（ｍ＋ｎｉ）ω／２をわたる．

すなわち，ｘ→ｘ＋ωｉ，ｘ＋２ωの２重周期になっている（ガウス）．

　　π＝２∫(0,1)ｄｔ／（１−ｔ^2)^1/2

に対して，

　　ω＝２∫(0,1)ｄｔ／（１−ｔ^4)^1/2

で定義される．

　　Σ１／（ｍ＋ｎｉ）^4＝ω^4／１０　　　（フルヴィッツの公式）

　レムニスケート三角関数の加法定理についてはコラム「楕円積分の加法定理」を参照されたい．

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【３】ヤコビのｓｎ関数

　　ｓｎ（ｘ，ｋ）＝ｘΠ（１−ｘ／α）／Π（１−ｘ／β）

は

　　∫(0,sn(x,k))ｄｔ／（１−ｔ^2）（１−ｋ^2ｔ^2)^1/2＝ｘ

で定義される．

［１］ｋ＝０のとき

　　∫(0,sin(x))ｄｔ／（１−ｔ^2）^1/2＝ｘ

［２］ｋ＝ｉのとき

　　∫(0,sl(x))ｄｔ／（１−ｔ^4）^1/2＝ｘ

［３］ｋ＝１のとき

　　∫(0,sn(x,1))ｄｔ／（１−ｔ^2）＝ｘ

より

　　ｓｎ（ｘ，１）＝ｔａｎｈ（ｘ）

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