ａn＝（ａn-1＋ｂn-1）／２，ｂn＝√（ａn-1・ｂn-1）は

ａ1＞ａ2＞・・・＞ａn＞ｂn＞ｂn-1＞・・・＞ｂ1

で，同じ極限値に到達する．

　この極限値を算術幾何平均Ｍ（ａ，ｂ）と記す．

　　Ｍ（ｒａ，ｒｂ）＝ｒＭ（ａ，ｂ）

が成り立つので，一般にＭ（１，ｘ）が計算できればよいことがわかる．

　ｋ’＝ａ／ｂ，ｋ^2＝１−ｋ’^2

とすると

　Ｍ（ａ，ｂ）＝ａＭ（１，ｋ’）

　１／Ｍ（１，ｋ’）＝２／π・∫(0,1)ｄｘ／（１−ｘ^2）（１−ｋ^2ｘ^2）

が成り立つ．

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　πとωはそれぞれ，

　　π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159･･･（円周率）

　　ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205･･･（レムニスケート周率）

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

　ガウスの算術幾何平均

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝π/2／∫(0,π/2)ｄθ/(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)^(1/2)

より

　　Ｍ（√2，１）＝π／ω

また，レルヒの公式

　　Δ(i)＝（ω／π√2）^12＝Γ^24(1/4)／２^24π^18

　　Ｅ4(i)＝３（ω／π）^4＝３Γ^8(1/4)／６４π^6

もこの兄弟分にあたる．

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