ゼータ分割に関し、新たな事実がわかりましたのでお伝えします。ゼータは、どこまでも細かく分割可能なようです。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　先にL(s)の２分割をお伝えしましたが、今回L(s)は４分割、８分割の場合を出すことができました。そして美しい規則性からL(s)ゼータは２^n分割できることがわかりました。つまり２分割、４分割、８分割、１６分割、３２分割・・・どこまでも無限に細かく分解でき、その個々のパーツ(級数)の値が全て求まっていくのです。

L(s)のL(1)の場合を考察します。つまりライプニッツの公式の分割を試みます。

　L(1)=1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 + 1/17 -1/19 +・・

=π/4　---�@

　この２分割は以前お伝えした通り、次となります。

■２分割

　1 -1/7 +1/9 -1/15 +1/17 -1/23 +1/25 -1/31 +・・

＝(π/8)tan(3π/8)＝(√2 +1)π/8

　1/3 -1/5 +1/11 -1/13 +1/19 -1/21 +1/27 -1/29 +・・

＝(π/8)tan(π/8)＝(√2 -1)π/8

　上式−下式＝L(1)＝π/4です。これは”真の分割”となっています。

さて今回、�@の４分割、８分割ができたわけですが，次の通りです。

■４分割

　1 -1/15 +1/17 -1/31 +1/33 -1/47 +1/49 -1/63 +・・

＝(π/16)tan(7π/16)　---A1

　1/3 -1/13 +1/19 -1/29 +1/35 -1/45 +1/51 -1/61 +・・

＝(π/16)tan(5π/16)　---A2

　1/5 -1/11 +1/21 -1/27 +1/37 -1/43 +1/53 -1/59 +・・

＝(π/16)tan(3π/16)　---A3

　1/7 -1/9 +1/23 -1/25 +1/39 -1/41 +1/55 -1/57 +・・

＝(π/16)tan(π/16)　---A4

これらはL(1)の”真の分割”となっています。

　A1 -A2 +A3 -A4 ＝L(1)＝π/4 であることがわかります。

　なお、tanを計算した結果は、以下の通りです。

tan(7π/16)＝(1 +√2 +√(4+2√2))、

tan(5π/16)＝(-1 +√2+√(4-2√2))

tan(3π/16)＝(1 -√2 +√(4-2√2))、

tan(π/16)＝(-1 -√2 +√(4+2√2))

　上記４式に対しExcelマクロで数値検証を実行しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。

■８分割

　1 -1/31 +1/33 -1/63 +1/65 -1/95 +1/97 -1/127 +・・

＝(π/32)tan(15π/32)　---B1

　1/3 -1/29 +1/35 -1/61 +1/67 -1/93 +1/99 -1/125 +・・

＝(π/32)tan(13π/32)　---B2

　1/5 -1/27 +1/37 -1/59 +1/69 -1/91 +1/101 -1/123 +・・

＝(π/32)tan(11π/32)　---B3

　1/7 -1/25 +1/39 -1/57 +1/71 -1/89 +1/103 -1/121 +・・

＝(π/32)tan(9π/32)　---B4

　1/9 -1/23 +1/41 -1/55 +1/73 -1/87 +1/105 -1/119 +・・

＝(π/32)tan(7π/32)　---B5

　1/11 -1/21 +1/43 -1/53 +1/75 -1/85 +1/107 -1/117 +・・

＝(π/32)tan(5π/32)　---B6

　1/13 -1/19 +1/45 -1/51 +1/77 -1/83 +1/109 -1/115 +・・

＝(π/32)tan(3π/32)　---B7

　1/15 -1/17 +1/47 -1/49 +1/79 -1/81 +1/111 -1/113 +・・

＝(π/32)tan(π/32)　---B8

これらはL(1)の”真の分割”となっています。

　B1 -B2 +B3 -B4 +B5 -B6 +B7 -B8＝L(1)＝π/4 ----�A

となっています。

上記８式に対しExcelマクロで数値検証を実行しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。�Aの”B1 -B2 +B3 -B4 +B5 -B6 +B7 -B8”が右辺のπ/4に収束することも確認しました。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　上記式の導出過程を簡単に述べます。ゼータの香りの漂う公式

　1/(1^2+a^2) +1/(3^2+a^2) +1/(5^2+a^2) +1/(7^2+a^2) +・・

＝(π/(4a))・{e^(aπ)-1}/{e^(aπ)+1}

を使います。　以下のようにaに複素数を代入することで、分割された級数

が次々に求まっていきます。

　�@のaに複素数7i/8を代入すると、A1が得られる。

　�@のaに複素数5i/8を代入すると、A2が得られる。

　�@のaに複素数3i/8を代入すると、A3が得られる。

　�@のaに複素数 i/8を代入すると、A4が得られる。

　�@のaに複素数15i/16を代入すると、B1が得られる。

　�@のaに複素数13i/16を代入すると、B2が得られる。

　�@のaに複素数11i/16を代入すると、B3が得られる。

　�@のaに複素数 9i/16を代入すると、B4が得られる。

　�@のaに複素数 7i/16を代入すると、B5が得られる。

　�@のaに複素数 5i/16を代入すると、B6が得られる。

　�@のaに複素数 3i/16を代入すると、B7が得られる。

　�@のaに複素数 i/16を代入すると、B8が得られる。

以上。

　２分割、４分割、８分割の式を見てもらうとわかるように、非常に美しい規則性が現われています。したがって、１６分割や３２分割の場合も、ほとんど計算なしで、個々のパーツ(級数)の値を求めることが可能と思います。単純なアルゴリズムの世界です。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　つい先日、ゼータの分割は有限なのか？無限に多く分割できるのか？を疑問（問題）として問うたわけですが、L(s)ゼータに関しては、無限に多く分割できるとわかりました。

　今回L(s)のs=1の場合のL(1)を見ましたが、L(3)、L(5)・・でも同様に分割できるはずです。しかしsが大きくなるにつれ、計算は非常に大変になっていきます。ゼータの香り式ではs=1の場合がもっとも計算が楽なのです。

　L(s)は少なくとも２^n分割可能ですが、１２分割や２４分割などはおそらくできないと思われます。ただし実験して調べる必要はあります。

　Ｌ(χ,ｓ)ゼータにおけるL(s)以外のゼータもおそらく無限に分割できると予想しますが、それはまだよくわかっていません。（リーマンゼータζ(s)だけは例外であり、分割はまったくできないはずです）

　今回わかった「L(s)は無限に分割可能である」ということは、知られている事実かどうかはわかりませんが、私には驚異的なことに思えます。　　　（杉岡幹生）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝