L(1)の続いて、L(3)の分割（枝分かれ）が求まったのでお知らせします。

L(3)=1 -1/3^3 +1/5^3 -1/7^3 +1/9^3 - 1/11^3 +1/13^3 -1/15^3・・

　　=π^3/32

が割れた（分裂した）場合のそれぞれの級数が求まりました。

　結果から示すと、次となります。

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1 -1/7^3 +1/9^3 -1/15^3 +1/17^3 -1/23^3 +1/25^3 -・・

＝(3√2 +4)π^3/256　---�@

1/3^3 -1/5^3 +1/11^3 -1/13^3 +1/19^3 -1/21^3 +1/27^3 -・・

＝(3√2 -4)π^3/256　---�A

　�@から�Aを引くと、L(3)になります。�@ -�A=L(3)です。

　前回のL(1)の場合もそうですが、ゼータが真っ二つに割れた！（分裂した）ということが起こっています。L(3)は�@と�Aから構成され、それぞれの値が求まるというのが非常に面白いです。

　この現象から、”枝分かれ”というよりは”分割”や”分裂”の方が言葉としては合っている気がします。

　さて、�@、�Aの導出方法を簡単に述べます。ゼータの香りの漂う公式

　1/(1^2+a^2) +1/(3^2+a^2) +1/(5^2+a^2) +・・

　　＝(π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1)

をaについて２階微分した次の�Bを使います。

　1/(1^2+a^2)^3 +1/(3^2+a^2)^3 +1/(5^2+a^2)^3 +・・

＝(π/32)[(3/a^5){e^(2aπ)-2aπe^(aπ)-1}/{e^(aπ)+1}^2-(2π^2/a^3)e^(aπ){e^(aπ)-1}/{e^(aπ)+1}^3] ---�B

　�Bのaに複素数3i/4を代入すると�@が得られます。複素数i/4を代入すると�Aが出ます。このやり方はL(1)の場合と同じです。同じですが、計算量は大幅に増えます。途中ζ(2)とL(1)も出てきてその値も利用します（ζ(2)=π^2/6, L(1)=π/4）。最後に�@、�Aに関する連立方程式がたって、うまいことそれらの値（�@、�A右辺）が求まります。

　�Bの右辺は複雑に見えますが、じつは計算量を減らす工夫の変形ができ、見かけほどではありません。

　今回の分割もL(1)と同様に、もちろん”本物の分割”（枝分かれ）となっています。ここで、見かけの分割、本物の分割についてすこし述べます。次のものはζ(2)の本物の分割（分身）でしょうか？

1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2+・・ ---�C

じつはこれは、見せかけの分割です。なぜなら、

1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2+・・

=1 +1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 +1/5^2 +1/6^2+・・-(1/2^2 +1/4^2 +1/6^2 +1/8^2 +・・)

=ζ(2) -1/2^2(1 +1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 +・・)

=ζ(2) -1/2^2ζ(2)

=(1-1/2^2)ζ(2)

と変形できるからです。�Cはζ(2)そのものなのです。少し前私は、LA(1)ゼータのこの種の見せかけの分身の術に騙されてしまったのですが・・・。

　このような　級数の値＝（有理数）×ゼータ値 --�D

の場合は要注意というわけです。

　さて今回の�@，�Aを再び見ると、右辺は次のような値です。

1 -1/7^3 +1/9^3 -1/15^3 +1/17^3 -1/23^3 +1/25^3 -・・

＝(3√2 +4)π^3/256　---�@

1/3^3 -1/5^3 +1/11^3 -1/13^3 +1/19^3 -1/21^3 +1/27^3-・・

＝(3√2 -4)π^3/256　---�A

　右辺には√2があります。したがってL(3)=π^3/32との関係は、�Dのようにはならず、よって�@、�AはL(3)の本物の分裂となっているのです。

　この分裂したもののさらなる分裂（分割）は可能なのでしょうか。まったくわかりませんが、一つわかるといろいろと疑問（問題）が湧いてきます。　　　（杉岡幹生）

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