［Ｑ］△ＡＢＣの辺ＢＣ上に１辺，辺ＣＡ，ＡＢ上にそれぞれ頂点がある正方形を作図せよ．

＝［Ｑ］与えられた三角形に正方形を内接させよ．正方形の２つの頂点は三角形の底辺にあり，他の２頂点はそれぞれ三角形の辺上にあるものとする．

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　ポリア「いかにして問題を解くか」丸善

には三角形に内接する正方形の作図問題が掲載されているが，はじめて知ったときにはまるで魔法のように感じられた．実は，この問題はあまり難しくなく，１本の直線を思いつくならばほぼ成功である．

［Ａ］２つの頂点が三角形の底辺にあり，ひとつの頂点が三角形の辺上にある正方形を作図する．４番目の頂点は三角形の辺上にないが，それと三角形の頂点を結ぶ直線を描く．その直線と三角形の辺との交点が要請された正方形の４番目の頂点になる．

　なお，平面上の凸な閉曲線上には，正方形の頂点をなす４点が存在する（シュニーレルマン）．どんな閉曲線も正方形の４頂点を含むかどうかは未解決である．

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　それでは

［Ｑ］二等辺三角形△ＡＢＣ（底辺の長さ１２，斜辺の長さ１０）の辺ＢＣ上に１辺，辺ＣＡ，ＡＢ上にそれぞれ頂点がある正方形の面積を求めよ．

［Ａ］二等辺三角形△ＡＢＣの高さは，ピタゴラスの定理より

　　ｈ^2＝１０^2−６^2，ｈ＝８

　　△ＡＢＣの面積△は４８となる．

　　△ＡＢＣの面積△は

正方形の面積ｘ^2

正方形の上方にある小さな三角形の面積△（ｘ／１２）^2

正方形の側方にある２個の小さな三角形の面積の和△（（１２−ｘ）／１２）^2

の和に等しい．

△＝ｘ^2＋△（ｘ／１２）^2＋△（（１２−ｘ）／１２）^2，△＝４８

５ｘ^2−２４ｘ＝０→ｘ＝２４／５

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