■オイラー積の仲間達(その13)

 (その12)は絶対保型形式と関係しています.今回のコラムでは,絶対保型形式

  f(1/x)=Cx^ーDf(x),Cは定数,Dは重みと呼ばれる

について調べてみます.

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[1]f(x)=1/(x−1)

 f(1/x)=1/(x^-1−1)=x/(1−x)=−xf(x)

C=−1,D=−1

 すなわち,重さ−1の絶対保型形式となる.

[2]f(x)=x^2/(x^2−1)

 f(1/x)=x^-2/(x^-2−1)=1/(1−x^2)=−x^-2f(x)

C=−1,D=2

 すなわち,重さ2の絶対保型形式となる.

[3]f(x)=(2g−2)(x^2+x)/(x−1)^2

 f(1/x)=(2g−2)(x^-2+x^-1)/(x^-1−1)^2=(2g−2)(x+1)/(x−1)^2=x^-1f(x)

C=1,D=1

 すなわち,重さ1の絶対保型形式となる.

[4]f(x)=x^3/(x−1)^3

 f(1/x)=x^-3/(x^-1−1)^3=−1/(x−1)^3=−x^-3f(x)

C=−1,D=3

 すなわち,重さ3の絶対保型形式となる.

[5]f(x)=x^1-N・(x^N−1)^2/(x−1)=x^1/2・(x^N/2−x^-N/2)^2/(x^1/2−x^-1/2)

 f(1/x)=x^-1/2・(x^-N/2−x^N/21)^2/(x^-1/2−x^1/2)

=−x^-1f(x)

C=−1,D=1

 すなわち,重さ1の絶対保型形式となる.

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