オイラーは素数の逆数和が無限大に発散することを示した．

　　Σ１／ｐ＝∞

これは素数の個数が無限個あることを精密化したものである．そして　さらなる精密化として

　　Σ１／ｐ〜ｌｏｇｌｏｇｘ

と表している

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　ここで素数の密度関数φ（ｘ）を考える．

　　π（ｘ）〜∫(0,x)φ（ｔ）ｄｔ

すると

　　Σ１／ｐ〜∫(0,x)φ（ｔ）／ｔｄｔ〜ｌｏｇｌｏｇｘ

　ｘについて微分すると

　　φ（ｘ）／ｘ〜１／ｘｌｏｇｘ

　　φ（ｘ）〜１／ｌｏｇｘ

となって，素数定理

　　π（ｘ）〜ｌｏｇｘ／ｘ

を推測することができるのである．

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