【２】ヤコビの３重積公式

　　(a;q)n=(1-a)(1-aq)･･･(1-aq^(n-1))=Π(1-aq^k)

なる記号を導入すると

　　(q;q)n=(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^n)=Π(1-q^k)

になるが，ヤコビの３重積公式

　　Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))

は

　　(x;q)∞(q/x;q)∞(q;q)∞=Σ(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･x^m x=-z

と表現される．ヤコビの３重積公式はテータ関数そのものを表している．

［１］ヤコビの３重積公式において，ｑをすべてｑ^3に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺はΠ(1-q^3n)(1-q^3n-1)(1-q^3n-2)=Π(1-q^n)=(q;q)∞となり，

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^m･q^(m(3m+1)/2)　　　（オイラーの５角数定理）

と表される．

　オイラーは

(1)ｎが五角数でない限り，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数と奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数が等しいこと，

(2)ｎが五角数ならば，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数−奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数＝（−１）^k，ｎ＝ｋ（３ｋ＋１）／２

を示したことになる．

［２］また，ｑをすべてｑ^2に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺は

　　Π(1-q^2n)(1-q^2n-1)^2

ここで，異なる数への分割と奇数への分割が同数あるという結果に対応する

　　Π(1-q^2n-1)=Π1/(1+q^n)

より，

　　Π(1-q^n)/(1+q^n)=Σ(-1)^m･q^(m^2)　　（ガウスの４角数定理）

［３］今度はｘ＝−ｑとすれば，(-1;q)∞=2Π(1+q^n)より，左辺は

　　2Π(1-q^2n)(1+q^n-1)=2Π(1-q^2n)/(1-q^2n-1)

右辺はΣ(-∞~∞)q^(m(m+1)/2)であるが，m(m+1)/2はm=-1/2について対称であるから和を取る範囲をm:-∞~∞からm:0~∞に狭めることができて

　　Σ(-∞~∞)q^(m(m+1)/2)=2Σ(0~∞)q^(m(m+1)/2)

これより

　　Π(1-q^2n)/(1-q^2n-1)=Σq^(m(m+1)/2)　　m:0~∞　　　（ガウスの３角数定理）

［４］ｘ＝δとすれば，

　　(x;q)∞(q/x;q)∞(q;q)∞=(1-δ)(δq;q)∞(q/δ;q)∞(q;q)∞

　　Σ(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･x^m=Σ(1~∞)(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･(δ^m-δ^-m+1)=Σ(0~∞)(-1)^m+1･q^(m(m+1)/2)･δ^-m(δ^2m+1-1)

両辺を(1-δ)で割り，δ→１とすれば，

　　左辺→Π(1-q^n)^3

　　右辺→Σ(0~∞)(-1)^m-1･(2m+1)q^(m(m+1)/2)

より，

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　（ヤコビの３角数定理）

［５］三角数等式

　ヤコビの三重積公式

　　Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))

において，ｚ＝１とすれば，

　　Σq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^2n)(1+q^(n-1))

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1+q^n)(1-q^2n+2)=Σq^(m(m+1)/2)　　m:-∞~∞

［６］七角数等式

　ｑをすべてｑ^5に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，

　　Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)=Π(1-q^5n)(1-q^5n-1)(1-q^5n-4)

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1-q^5n+1)(1-q^5n+4)(1-q^5n+5)=Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)　　m:-∞~∞

［７］ｍ角数等式

　ｑをすべてｑ^m-2に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，

　　Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)=Π(1-q^(m-2)n)(1-q^(m-2)n-1)(1-q^(m-2)n+1)

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1-q^(m-2)(n+1))(1-q^(m-2)(n+1)-1)(1-q^(m-2)(n+1)+1)=Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)　　m:-∞~∞

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝