オイラーの５角数定理を用いると，分割関数に対する再帰関係式

　　Σp(n-j(3j±1)/2)(-1)^j=0

　　p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+･･･

が得られます．これより

　　p(0)=1,p(1)=1,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=5,p(5)=7,p(6)=11,

　　p(7)=15,p(8)=22,p(9)=30,p(10)=41,p(11)=56,p(12)=77,･･･

を効率的に計算することができます．

　ラマヌジャンはp(n)が満たす合同式について

　　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　ｍｏｄ５

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ１１

　　ｐ（５９９）＝０　　ｍｏｄ５^3

　　ｐ（７２１）＝０　　ｍｏｄ１１^2

を予想し，それらを証明しています．

（証）φ(q)=Π(1-q^k)とおく．

　　Σp(5n+4)q^n=5{φ(q^5)}^5/{φ(q)}^6

の右辺の展開を考えると合同式が証明される．

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