［１］任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として表される．

［２］十分大きな整数はたかだか７個の３乗数の和として表される．

［３］ほとんどすべての整数はたかだか４個の３乗数の和として表される．

［１］任意の整数はたかだか１９個の４乗数の和として表される．

［２］十分大きな整数はたかだか１６個の４乗数の和として表される．

［１］任意の整数はたかだか１４３個の７乗数の和として表される．

［２］十分大きな整数はたかだか１３７個の７乗数の和として表される．

［１］任意の整数はたかだか２７９個の８乗数の和として表される．

［２］十分大きな整数はたかだか１６３個の８乗数の和として表される．

　ここでは，ウェアリングの問題のもうひとつの一般化について考えてみます．

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　４^k（８ｎ＋７）の形の数は４個の２乗を必要とする（たとえば，７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2）のに対して，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

　２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3

そして，１９３９年，ディクソンは２３，２３９以外の整数はすべて８個の３乗数の和で書けることを示しています．また，８個の立方数の和として表せない自然数は１５，２２，５０，１１４，１６９，１７５，１８６，２１２，２３１，２３８，３０３，３６４，４２０，４２８，４５４の１５個だけです．

　２３と２３９を除くすべての整数が８個以下の立方数の和として表せる，また，４５４より大きいすべての整数が７個以下の立方数の和として表せる・・・

　７９などを除くすべての整数が１９個より少ない４乗数の和として表せる，

　　７９＝４・２^4＋１５・１^4

たった７つの数だけが１９個の４乗数を必要とする．５５９はそれらの中で最大のものである．

　　５５９＝４^4＋４^4＋２^4＋２^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4

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　このことから，十分に大きなすべてのｎに対して，Ｇ（ｋ）個のｋ乗数の和として表すことができる最小の正の整数Ｇ（ｋ）が定義されます．定義よりＧ（ｋ）≦ｇ（ｋ）ですが，この問題はウェアリングの問題のもうひとつの一般化となっています．

　現在まで，４≦Ｇ（３）≦７，Ｇ（４）＝１６，６≦Ｇ（５）≦１７，９≦Ｇ（６）≦２４，８≦Ｇ（８）≦３３，１３≦Ｇ（９）≦５０，１２≦Ｇ（１０）≦５９の結果が知られています．

　また，１９３７年，フアは十分に大きなすべてのｎに対して，Ｈ（ｋ）個の素数のｋ乗数の和として表すことができる最小の正の整数Ｈ（ｋ）が存在することを示しました．１９８７年，タノガサラムはＨ（５）≦２３，Ｈ（６）≦３３，Ｈ（７）≦４７，Ｈ（８）≦６３，Ｈ（９）≦８３，Ｈ（１０）≦１０３を示したのですが，ヴィノグラドフがＨ（１）≦３，フアがＨ（２）≦５，Ｈ（３）≦９を既に示しており，現在までＨ（４）≦１４，Ｈ（５）≦２１が川田，ウーリーによって，Ｈ（７）≦４６が川田，クムチェフによって得られています．

　　［参］Tattersall「初等整数論９章」森北出版

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