計算で手こずっていましたが、ゼータの香り式の ^8の場合が出たのでお知らせします。次の値が求まりました。

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A=1/(1^8+1) + 1/(3^8+ 1) + 1/(5^8+1) + 1/(7^8+1) + ・・

B=1/(1^8+1) + 3^4/(3^8+1) + 5^4/(5^8+1) + 7^4/(7^8+1)+・・

この正体は、次となります。

A=K[α{(sh2α-s2α)-2sβshβ(cαshα+sαchα)+2cβchβ(cαshα-sαchα)}+β{(sh2β-s2β)-2sαshα(cβshβ+sβchβ)+2cαchα(cβshβ-sβc

hβ)}]

B=K[β{(sh2α-s2α)-2sβshβ(cαshα+sαchα)+2cβchβ(cαshα-sαchα)}-α{(sh2β-s2β)-2sαshα(cβshβ+sβchβ)+2cαchα(cβshβ-sβch

β)}]

　ここで、α=(π/√2)cos(π/8)、β=(π/√2)sin(π/8)です。

sα、cα、shα、chαは、それぞれsinα、cosα、sinhα、coshαを表します。長くなるので略記しました。sinh、coshは双曲線関数です。またKは、K=1/[8*{(cβchα+cαchβ)^2+(sβshα-sαshβ)^2}]です。

　数値検証もしましたが、正しいです。A=0.500155155792・・

この姿、どう思われますか？

　上記は、^4に比べ複雑に感じられるかもしれません。しかし非常にきれいな秩序で書かれています。よく眺めてください。α{ }内とβ{ }内の形がまったく同じです！！　AとBで、ほんのちょっとしか違っていないのも面白い。

　上記の結果はもしかしたらもっと簡単化できるのかもしれませんが、無理なような気もしています。上だけでも対称性の美しさで十分です。

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さて、いつも私はまず先に具体的な場合を求めるのですが、方法がわかったので一般化した次の式も出せることになります。

A(a)=1/(1^8+a^2) + 1/(3^8+a^2) + 1/(5^8+a^2) + ・・

B(a)=1/(1^8+a^2) + 3^4/(3^8+a^2) + 5^4/(5^8+a^2)+ ・・

そしてもしこれらの正体が求まったらaにi^0.5を代入することで、今度は次の ^16が出ます（そのはず）。

A(a)=1/(1^16+a^2) + 1/(3^16+a^2) + 1/(5^16+a^2) + ・・

B(a)=1/(1^16+a^2) + 3^8/(3^16+a^2) + 5^8/(5^16+a^2) + ・

このようにして高次が求まっていきます。しかし^8の場合でも膨大な計算となったので、^16を出すのはちょっと無理な感じです。その姿は見れませんが、対称的な式になっているはずです。　　（杉岡幹生）

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