ａ＝ｍ^2−ｎ^2

ｂ＝２ｍｎ

ｃ＝ｍ^2＋ｎ^2

または

ａ＝α^2＋２αβ

ｂ＝　　　２αβ＋２β^2

ｃ＝α^2＋２αβ＋２β^2

とずべてのピタゴラス三角形をパラメトライズすることができる．

　また，ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3に関してはすべての解をパラメトライスすることはできないと思われるが，ラマヌジャン解（２パラメータ）

ａ＝３ｍ^2＋５ｍｎ−５ｎ^2 ，

ｂ＝４ｍ^2−４ｍｎ＋６ｎ^2 ，

ｃ＝５ｍ^2−５ｍｎ−３ｎ^2 ，

ｄ＝６ｍ^2−４ｍｎ＋４ｎ^2

が知られている．

　これらに対する「バーニングとホールのピタゴラス三角形生成行列」

　　　　［−１，−２，２］

　　Ｐ＝［−２，−１，２］

　　　　［−２，−２，３］

もどきがあればよいのであるが，どうやって構成すればよいだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　　　［−１，−２，２］

　　Ｐ＝［−２，−１，２］

　　　　［−２，−２，３］

この変換の裏には</P>

　　［ｍ’］＝［１，−２］［ｍ］

　　［ｎ’］　［０，−１］［ｎ］

が潜んでいます．

　　Ｒ＝［１，−２］

　　　　［０，−１］

とおくと，

　　Ｒ^-1＝Ｒ，｜Ｒ｜＝−１

を満たします．

　　　　［−３，−４，４］

　　Ｑ＝［−４，−３，４］

　　　　［−６，−６，７］

　この行列も

　　Ｑ^-1＝Ｑ，｜Ｑ｜＝−１

を満たします．

　なお，この変換の裏にも

　　［ｍ’］＝［１，−２］［ｍ］

　　［ｎ’］　［０，−１］［ｎ］

が潜んでいます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　　　［１，−２，２］ 　　　　［　１，　２，−２］

　　Ｕ＝［２，−１，２］ Ｕ^-1 ＝［−２，−１，　２］

　　　　［２，−２，３］ 　　 　［−２，−２，　３］

　　　　［１，２，２］ 　　　　［　１，　２，−２］

　　Ａ＝［２，１，２］ Ａ^-1 ＝［　２，　１，−２］

　　　　［２，２，３］ 　　　　［−２，−２，　３］

　　　　［−１，２，２］ 　　　　［−１，−２，　２］

　　Ｄ＝［−２，１，２］ Ｄ^-1 ＝［　２，　１，−２］

　　　　［−２，２，３］ 　　　　［−２，−２，　３］

　行列の一部の要素の符号を変えただけで逆行列ができてしまうところが不思議である．また，

　　｜Ｕ｜＝｜Ｄ｜＝１，｜Ａ｜＝−１

とＡだけが違う結果になる．

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