「バーニングとホールのピタゴラス三角形生成行列」もどきに関しては，ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3のラマヌジャン解を考えるとよいと思われるが，ここでは，オイラー解（４パラメータ）について調べてみたい．

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ａ＝−（ｘ^2＋３ｙ^2）^2＋（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ），

ｂ＝（ｘ2＋３ｙ^2）^2−（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ−３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｃ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）^2−（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ），

ｄ＝（ｚ2＋３ｗ^2）^2＋（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ）

Ａ＝（ｘ^2＋３ｙ^2）

Ｂ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）

Ｃ＝（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ）とおく．

ａ＝−Ａ^2＋ＢＣ，

ｂ＝Ａ^2＋ＢＣ，

ｃ＝Ｂ^2−ＡＣ，

ｄ＝Ｂ^2＋ＡＣ

誤植があると思われたが，計算を続行する．

ａ^3＝−Ａ^6＋３Ａ^4ＢＣ−３Ａ^2Ｂ^2Ｃ^2＋Ｂ^3Ｃ^3

ｂ^3＝Ａ^6＋３Ａ^4ＢＣ＋３Ａ^2Ｂ^2Ｃ^2＋Ｂ^3Ｃ^3

ｃ^3＝Ｂ^6−３Ｂ^4ＡＣ＋３Ａ^2Ｂ^2Ｃ^2−Ａ^3Ｃ^3

ｄ^3＝Ｂ^6＋３Ｂ^4ＡＣ＋３Ａ^2Ｂ^2Ｃ^2＋Ａ^3Ｃ^3

ａ^3＋ｂ^3＝６Ａ^4ＢＣ＋２Ｂ^3Ｃ^3

ｄ^3−ｃ^3＝６Ｂ^4ＡＣ＋２Ａ^3Ｃ^3

３ＡＢ（Ａ^3−Ｂ^3）＝（Ａ^3−Ｂ^3）Ｃ^2

３（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｚ^2＋３ｗ^2）＝（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ）^2

左辺＝３ｘ^2ｚ^2＋９ｘ^2ｗ^2＋９ｙ^2ｚ^2＋２７ｙ^2ｗ^2

右辺＝ｘ^2ｚ^2＋６ｘｚ（ｙｗ＋ｘｗ−ｙｚ）＋９（ｙｗ＋ｘｗ−ｙｚ）^2

＝ｘ^2ｚ^2＋６ｘｙｚｗ＋６ｘ^2ｚｗ−６ｘｙｚ^2＋９ｙ^2ｗ^2＋９ｘ^2ｗ^2＋９ｙ^2ｚ^2＋１８ｘｙｗ^2−１８ｘｙｚｗ−１８ｙ^2ｚｗ

＝ｘ^2ｚ^2＋９ｙ^2ｗ^2＋９ｘ^2ｗ^2＋９ｙ^2ｚ^2

−１２ｘｙｚｗ＋６ｘ^2ｚｗ−６ｘｙｚ^2＋１８ｘｙｗ^2−１８ｙ^2ｚｗ

合致しない．

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