ピタゴラスの問題ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2を拡張する方向としては，・・・

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［１］一つには未知数の個数を増すこと（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2，あるいは一般に，ｘ1^2＋ｘ2^2＋・・・＋ｘn^2＝ｙ^2を解くこと），

　各辺と空間対角線が自然数になる直方体ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2は恒等式

ａ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2−ｎ^2）／ｎ，

ｂ＝２ｋｌ，

ｃ＝２ｋｍ，

ｄ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2＋ｎ^2）／ｎ

で与えらる．ただし，ｎはｌ^2＋ｍ^2の約数でｎ＜√（ｌ^2＋ｍ^2）でなければなりません．一つの文字だけの恒等式

　　ｎ^2（ｎ＋１）^2＋ｎ^2＋（ｎ＋１）^2＝（ｎ^2＋ｎ＋１）^2

によっても無数に解が求まる．

　ファウルハーバーの定理は，ピタゴラスの定理の拡張である．各辺（ａ，ｂ，ｃ）と空間対角線ｄの直方体では

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2

が成り立つが，ファウルハーバーは直角三角形の辺の長さの２乗を，直角三角錐の面の面積の２乗に拡張した．

　辺（ｐ，ｑ，ｒ）が１点において直交する四面体において，３つの面の面積をＡ，Ｂ，Ｃ，斜面の面積をＤとすると

　　Ａ^2＋Ｂ^2＋Ｃ^2＝Ｄ^2

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［２］もうひとつの方向として，未知数の個数を増し指数を大きくすること（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3，さらにａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4＝ｅ^4，ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5＝ｆ^5，・・・）

　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3のパラメータ解としては，オイラー解（４パラメータ），ラマヌジャン解（２パラメータ）が知られている．

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［雑感］「バーニングとホールのピタゴラス三角形生成行列」もどきがあればよいのであるが，ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2とａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3のどちらを考えるべきなのだろう．

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