［Ｑ］ｘ^3＋ｙ^3＝１７２９を満たす整数解（ｘ，ｙ）をすべて求めよ．

［Ａ］ｘ^3＋ｙ^3＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2）＝７・１３・１９

［１］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１３・１９，ｘ＋ｙ＝１

［２］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１３・１９，ｘ＋ｙ＝７

［３］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１９，ｘ＋ｙ＝１３

［４］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１３，ｘ＋ｙ＝１９

［５］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１９，ｘ＋ｙ＝７・１３

［６］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１３，ｘ＋ｙ＝７・１９

［７］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７，ｘ＋ｙ＝１３・１９

［８］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１，ｘ＋ｙ＝７・１３・１９

　　ｘ＋ｙ＝Ａ，ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝Ｂ

　　ｘ^2−ｘ（Ａ−ｘ）＋（Ａ−ｘ）^2＝Ｂ

　　３ｘ^2−３Ａｘ＋Ａ^2−Ｂ＝０

　　ｘ＝１／６・｛３Ａ±（１２Ｂ−３Ａ^2）^1/2｝

に代入すると（ｘ，ｙ）＝（１，１２），（９，１０），（１０，９），（１２，１）が得られる．

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［１］ラマヌジャンの数１７２９＝７・１３・１９は面白いが意外と厄介な数のようです．

［２］３次以上の多項式（不定方程式）には一般的な公式がなく，むしろ偶然の関係がものをいうようです．ｘ^3＋ｙ^3については虚３乗根

　　ω＝（−１＋ｉ√３）／２

を使って，

　　ｘ^3＋ｙ^3＝（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ωｙ）（ｘ＋ω^2ｙ）

と因数分解できます．

［３］ところが，７，１３，１９はいずれもアイゼンシュタインの整数

　　Ｚ［ω］＝｛ｍ＋ｎω｜ｍ，ｎはは整数｝

の体系の中では素数ではなく，

　　７＝（３＋ω）（３＋ω^2）

　　１３＝（４＋ω）（４＋ω^2）

　　１７＝（５＋２ω）（５＋２ω^2）

などと素因数分解されます．

［４］この組み合わせが多数生じるので，簡単にｘ，ｙを定める方程式を書き下せません（もちろん組み合わせは有限個ですから，全部の可能性を根気強く調べれば解を得ることは可能です）．

［５］この場合は偶然，

　　７・１３＝９１＝４^3＋３^3

　　７・１９＝１３３＝５^3＋２^3

　　１３・１９＝２４７は正の整数の３乗の和にならない

といった関係もありますし，結果的に

　　（１２＋ω）（１２＋ω^2）＝１３３＝７・１９

　　（１０＋９ω）（１０＋９ω^2）＝９１＝７・１３

が成立しています．

　そして（±ω，±ω^2など単数をか調整する必要がありますが）

　　１２＋１＝１３

　　１２＋ω＝（５＋２ω）（３＋ω^2）

　　１２＋ω^2＝（５＋２ω^2）（３＋ω）→ｘ＝１２，ｙ＝１

　　１０＋９＝１９

　　１０＋９ω＝（−ω^2）（４＋ω）（３＋ω^2）

　　１０＋９ω^2＝（−ω）（４＋ω^2）（３＋ω）→ｘ＝１２，ｙ＝１

　　１２＋ω^2＝（５＋２ω^2）（３＋ω）→ｘ＝１２，ｙ＝１

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