不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3，ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄを満たす自然数解は無数に存在します．ここではその一般解（その５６）を知らないものとして考えてみます．

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　　ａ^3＋ｂ^3＝ｄ^3−ｃ^3

　　（ａ＋ｂ）^3−３ａｂ（ａ＋ｂ）＝（ｄ−ｃ）^3＋３ｃｄ（ｄ−ｃ）

　　（ａ＋ｂ）^3−（ｄ−ｃ）^3＝３ａｂ（ａ＋ｂ）＋３ｃｄ（ｄ−ｃ）

　ここで，ｄ−ｃ＝α，ａ＋ｂ＝βとおくと

　　β^3−α^3＝３ａｂβ＋３ｃｄα

　　（β−α）（α^2＋αβ＋β^2）＝３（ａｂβ＋３ｃｄ）

［１］ｄが偶数→ａ，ｂ，ｃとも偶数→（ａ，ｂ，ｃ）＝１に反する

［２］ｄが偶数→ａ，ｂ，ｃは奇数が２個，偶数が１個

［３］ｄが奇数→ａ，ｂ，ｃとも奇数

［４］ｄが奇数→ａ，ｂ，ｃは奇数が１個，偶数が２個

　　β−α＝ａ＋ｂ＋ｃ−ｄ

の偶奇まで考慮すると

　　（β−α）（α^2＋αβ＋β^2）＝３（ａｂβ＋３ｃｄ）

の右辺は６の倍数になる．

　　β−α＝ａ＋ｂ＋ｃ−ｄ＝６ｋ

　　ｄ−ｃ＝α，ａ＋ｂ＝β，β＝α＋６ｋ

として（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）を検索することができる．

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　ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2

　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3

さらに次元をあげて

　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4＝ｅ^4

　ａ^5＋ｂ^5＋ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5＝ｆ^5

のパラネータ解はどうなっているのだろうか？

　　［参］永田博「三平方の定理から四立方の定理へ」東京図書出版

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