ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2，（ａ，ｂ，ｃ）＝１では，ａ，ｂのどちらかが奇数と偶数，ｃは奇数となる．

［１］ｃが偶数→ａ，ｂとも偶数→（ａ，ｂ，ｃ）＝１に反する

［２］ｃが偶数→ａ，ｂとも奇数

　　ａ＝２ｋ＋１，ｂ＝２ｋ’＋１

　　ａ^2＋ｂ^2＝４（ｋ^2＋ｋ＋ｋ’^2＋ｋ’）＋２

　　→ｃ^2は４の倍数であることに反する

　ａ＝２ｋ＋１，ｃ＝２ｋ’＋１とおくと

　　ｃ^2−ａ^2＝４（ｋ’^2＋ｋ’−ｋ^2−ｋ）

　＝４（ｋ’−ｋ）（ｋ’＋ｋ＋１）＝ｂ^2

　ここで，ｋ’＋ｋ＋１＝ｍ^2，ｋ’−ｋ＝ｎ^2とおくと

　ｍ^2＋ｎ^2＝２ｋ’＋１＝ｃ，ｍ^2−ｎ^2＝２ｋ＋１＝ａ，２ｍｎ＝ｂ

ａ＝ｍ^2−ｎ^2

ｂ＝２ｍｎ

ｃ＝ｍ^2＋ｎ^2

とずべてのピタゴラス三角形をパラメトライズすることができる．

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